[科普中國(guó)]-史梯福一惠特尼類

史梯福-惠特尼類(Stiefel-Whitney class)是一種相應(yīng)于正交群O(n)的模2系數(shù)的示性類，它有很多基本性質(zhì)，如：若ξ=η，則Wi(ξ)=Wi(η)；若ε為平凡叢，則Wi(ε)=0，i>0，這是因?yàn)榇嬖趶摩诺降卓臻g為一個(gè)點(diǎn)的向量叢的映射；若ε為平凡叢，則Wi(ε⊕η)=Wi(η)。

基本介紹史梯福-惠特尼類是一種相應(yīng)于正交群 的模2系數(shù)的示性類。為了定義史梯福-惠特尼類，先敘述一個(gè)定理：設(shè) 是一種有乘積的上同調(diào)理論，使得對(duì)于每個(gè) ，有元素 滿足：

1. ；

2.若 為包含，則 ( 為 下一點(diǎn)構(gòu)成空間的上同調(diào)環(huán))，

則對(duì)于以 復(fù)形 為底空間的每個(gè) 叢ξ，存在惟一的 滿足：

1. ( #ξ) ，對(duì)于一切 ；

2. ；

3.若 為 上的典型線叢，則 ；

4. 。

由于 系數(shù)的奇異上同調(diào) 滿足定理中的條件1，2，因此，對(duì)于 復(fù)形X上的每個(gè) 叢ξ，存在惟一的

它們稱為 叢ξ的史梯福-惠特尼類1。

史梯福-惠特尼類的性質(zhì)史梯福-惠特尼類的性質(zhì)(properties of Stiefel-Whitney classes)是對(duì)史梯福-惠特尼類的刻畫，指它的一些基本性質(zhì)。即：

1.若 ，則 。

2.若 為平凡叢，則 ，這是因?yàn)榇嬖趶摩诺降卓臻g為一個(gè)點(diǎn)的向量叢的映射。

3.若ε為平凡叢，則 。

4.若向量叢ξ有k個(gè)獨(dú)立的截面，則 ，其中ε為k維平凡叢，從而 ，所以

對(duì)于一個(gè) 向量叢ξ，

稱為ξ的**全史梯福-惠特尼類，**于是由惠特尼乘積定理有 。

5.設(shè) 為 上的典型線叢，則

這由示性類的定義立即可知。對(duì)于一個(gè) 復(fù)形 ，以 為底空間的向量叢ξ是很多的，當(dāng) 為可微流形時(shí)，稱切叢 的史梯福-惠特尼類為M的史梯福-惠特尼類。對(duì)于流形M，若 為平凡叢，則稱M為可平行化的。設(shè) 為 個(gè) 的惠特尼和，其全空間中的每一個(gè)點(diǎn)可以表為

其中 是x在 中的像點(diǎn)，則存在一個(gè)叢映射

(ε′為一維平凡叢)，

其中 為 的內(nèi)積。φ為同胚，因此 ，從而由性質(zhì)4即知有下列性質(zhì)：

6. 。

由于這個(gè)性質(zhì)6與性質(zhì)4，即得下列性質(zhì)(史梯福的一個(gè)定理)：

7. ，當(dāng)且僅當(dāng) 。

因此 可平行化(即它的切叢為平凡叢)，僅可能是 事實(shí)上，已經(jīng)知道 可以平行化，而 不能平行化。此外，由性質(zhì)4與6還可知： 上沒有截面，即，沒有連續(xù)處處非零的向量場(chǎng)1。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)