[科普中國(guó)]-弱拓?fù)?

概念

弱拓?fù)?weak topology)是一種局部凸拓?fù)?。設(shè)線性空間對(duì)(X，Y)關(guān)于雙線性泛函〈·，·〉成為對(duì)偶，稱X上由半范數(shù)族{|〈·，y〉||y∈Y}確定的局部凸拓?fù)錇閄的關(guān)于對(duì)偶Y的弱拓?fù)?，記為?X，Y)。對(duì)稱地，Y上由半范數(shù)族{|〈x，·〉||x∈X}確定的局部凸拓?fù)浞Q為Y的關(guān)于對(duì)偶X的弱拓?fù)?，記為?Y，X)。當(dāng)X為局部凸空間時(shí)，(X，X)為自然對(duì)偶，σ(X，X)稱為X的弱拓?fù)洌?X，X)稱為X的弱*拓?fù)?。相?yīng)地，X中原有的拓?fù)浞Q為強(qiáng)拓?fù)洹Ｒ话愕?，X的弱拓?fù)浔葟?qiáng)拓?fù)淙?，從而弱閉集必是強(qiáng)閉集；對(duì)于凸集，其逆也成立，即強(qiáng)閉凸集也是弱閉的.集合的弱有界性與強(qiáng)有界性是等價(jià)的。

賦范線性空間的深入研究必然遇到弱拓?fù)鋯?wèn)題。事實(shí)上，1930年，馮·諾伊曼(von Neumann，J.)就注意到了這一點(diǎn)。這也是需要引入拓?fù)渚€性空間的一個(gè)原因。

拓?fù)渫負(fù)涫羌仙系囊环N結(jié)構(gòu)。設(shè)T為非空集X的子集族。若T滿足以下條件：

1.X與空集都屬于T;

2.T中任意兩個(gè)成員的交屬于T;

3.T中任意多個(gè)成員的并屬于T;

則T稱為X上的一個(gè)拓?fù)洹＞哂型負(fù)銽的集合X稱為拓?fù)淇臻g，記為(X，T)。

設(shè)T1與T2為集合X上的兩個(gè)拓?fù)?。若有關(guān)系T1T2，則稱T1粗于T2，或T2細(xì)于T1。當(dāng)X上的兩個(gè)拓?fù)湎嗷ブg沒(méi)有包含關(guān)系時(shí)，則稱它們是不可比較的。在集合X上，離散拓?fù)涫亲罴?xì)的拓?fù)?，平凡拓?fù)涫亲畲值耐負(fù)洹?/p>

局部凸空間局部凸空間是最重要的一類拓?fù)渚€性空間。設(shè)E是拓?fù)渚€性空間，如果E中存在由均衡凸集組成的零元的鄰域基，就稱E是局部凸的拓?fù)渚€性空間，簡(jiǎn)稱局部凸空間，而E的拓?fù)浞Q為局部凸拓?fù)?。零元的每個(gè)均衡凸鄰域V的閔科夫斯基泛函pV(x)是E上的連續(xù)半范數(shù).反之，設(shè){pλ|λ∈Λ}是E上一族半范數(shù)，E上使pλ(λ∈Λ)均為連續(xù)的最弱拓?fù)涫蔷植客沟?，且零元的均衡凸鄰域基由下面形式的集組成：

這個(gè)局部凸拓?fù)浞Q為由半范數(shù)族{pλ}確定的局部凸拓?fù)?。如果?duì)任何x∈E(x≠0)，都存在λ∈Λ使pλ(x)≠0，則{pλ|λ∈Λ}確定的局部凸拓?fù)涫呛浪苟喾蛲負(fù)?通常局部凸空間都指豪斯多夫局部凸空間.E中的定向半序點(diǎn)列{xα}收斂于x∈E等價(jià)于對(duì)每個(gè)λ∈Λ，pλ(xα-x)→0.設(shè)E1是由另一半范數(shù)族{qβ}確定的局部凸空間，則使線性映射T：E→E1連續(xù)的充分必要條件是，對(duì)任意的qβ，總存在有限個(gè)λ1，λ2，…，λn∈Λ和常數(shù)c，使不等式：2

對(duì)一切x∈E成立。

局部凸空間的完備化空間也是局部凸的。根據(jù)哈恩-巴拿赫泛函延拓定理，局部凸空間上存在足夠多的非零連續(xù)線性泛函。正因?yàn)槿绱?，局部凸空間理論成為拓?fù)渚€性空間理論中最重要的部分。

關(guān)于局部凸空間理論的發(fā)展大約是始于迪厄多內(nèi)(Dieudonné，J.)和施瓦茲(Schwarz，L.)在1949年的工作，它的一個(gè)主要推動(dòng)力是分布理論，即廣義函數(shù)理論。

賦范線性空間賦范線性空間是一類可以引進(jìn)“長(zhǎng)度”概念的線性空間。設(shè)X是線性空間，X上滿足下列條件的實(shí)值函數(shù)p(·)稱為X上的范數(shù)：

1.p(x)≥0(x∈X);p(x)=0?x=0.

2.p(αx)=|α|p(x)(α為數(shù)，x∈X).

3.p(x+y)≤p(x)+p(y)(x，y∈X).

對(duì)x∈X，p(x)稱為x的范數(shù)，通常記為‖x‖.賦有范數(shù)的線性空間(X，‖·‖)稱為賦范線性空間，簡(jiǎn)稱賦范空間。

拓?fù)渚€性空間拓?fù)渚€性空間是一類具有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的線性空間。如果實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域K上的線性空間E同時(shí)是有拓?fù)洇拥耐負(fù)淇臻g，并且線性空間的基本運(yùn)算x+y和αx(x，y∈E，α∈K)分別作為E×E和K×E到E中的映射按τ是連續(xù)的，則稱E為(實(shí)或復(fù))拓?fù)渚€性空間或拓?fù)湎蛄靠臻g。而τ稱為E的線性拓?fù)浠蛳蛄客負(fù)?，零元的均衡的鄰域全體組成零元的鄰域基。滿足T1分離公理的拓?fù)渚€性空間是完全正則的。

拓?fù)渚€性空間理論是泛函分析的一個(gè)重要分支，其基本概念建立于20世紀(jì)30年代，而今已經(jīng)發(fā)展成為一門完整的學(xué)科，在純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)、理論物理、現(xiàn)代力學(xué)和現(xiàn)代工程理論中都有廣泛應(yīng)用。3