[科普中國]-子流形管狀鄰域

子流形管狀鄰域(tubular neighborhood ofsubmanifold)是微分拓?fù)渲械囊粋€(gè)工具。利用管狀鄰域的存在性和橫截性定理，可以證明惠特尼定理：任何(無邊)緊致微分流形微分同胚于歐氏空間中的解析子流形。

概念子流形管狀鄰域(tubular neighborhood ofsubmanifold)是微分拓?fù)渲械囊粋€(gè)工具。設(shè)McN是微分流形N的子流形，M'是M上的向量叢，f:E->N是嵌入映射，則(f,M')稱為M在N中的管狀鄰域，若它適合：1. fcE是M在N中的開鄰域；2.當(dāng)把M等同于睿的零截面的像(cE)時(shí)，f I M一 ZM。通常也稱f (M)是M在N中的管狀鄰域。當(dāng)M,N是(無邊)微分流形時(shí)，則子流形M在N中必存在管狀鄰域，并且M在N中的任何兩個(gè)管狀鄰域是合痕的。利用管狀鄰域的存在性和橫截性定理，可以證明惠特尼定理：任何(無邊)緊致微分流形微分同胚于歐氏空間中的解析子流形。1

微分拓?fù)淙Q微分拓?fù)鋵W(xué)。是拓?fù)鋵W(xué)的一個(gè)重要的、十分活躍的分支學(xué)科。它以研究微分流形在微分同胚下的不變性質(zhì)為特征。一般地，微分拓?fù)鋵W(xué)是研究微分流形及微分流形之間的可微映射的性質(zhì)的學(xué)科。例如，它包含有下述一些典型的問題：

1.兩個(gè)微分流形在什么條件下是微分同胚的?

2.若兩個(gè)微分流形是同胚的，則它們一定微分同胚嗎?

3.一個(gè)微分流形能嵌入或浸入到另一個(gè)微分流形中嗎?

4.怎樣的微分流形是另一個(gè)帶邊流形的邊界?

5.一個(gè)微分流形是否可平行化.

19世紀(jì)末，龐加萊(Poincaré，(J.-)H.)在代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)方面做了一系列奠基工作的同時(shí)，對(duì)3維流形的拓?fù)溥M(jìn)行了深入的分析，提出了著名的龐加萊猜想：每個(gè)單連通的緊致、無邊的3維流形必同胚于3維球面S。這是微分拓?fù)鋵W(xué)中非常重要的、迄今尚未完全解決的問題。

20世紀(jì)以來，外爾(Weyl，(C.H.)H.)、惠特尼(Whitney，H.)、米爾諾(Milnor，J.W.)、托姆(Thom，R.)、斯梅爾(Smale，S.)、吳文俊等學(xué)者在微分拓?fù)鋵W(xué)的許多方面的工作，使得這門學(xué)科得以迅速發(fā)展，并且與其他拓?fù)鋵W(xué)分支，尤其是代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)建立了深刻而有力的聯(lián)系。同時(shí)，微分拓?fù)鋵W(xué)理論和方法上的成果推動(dòng)著諸如近代微分方程、微分幾何、大范圍分析等數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域的發(fā)展，顯示出它越來越重要的作用。2

微分流形設(shè)M是仿緊豪斯道夫 (Hau-sdorff)空間，且是拓?fù)淞餍?，稱A= {(Uα，Фα)|α∈P}是它的地圖，如果{Uα|α∈P}是M的開覆蓋，Фα是從Uα到n維歐氏空間R的某開集上的同胚。(Uα，Φα)稱為坐標(biāo)卡。如果兩個(gè)坐標(biāo)卡 (Uα，Фα)，(Uβ，Φβ) 滿足Uα∩Uβ≠Φ，則稱Φβ·Фα：Φα(Uα∩Uβ) →Φβ(Uα∩Uβ) 和Φα·Φβ： Φβ(Uα∩Uβ) →Фα(Uα∩Uβ) 為Uα∩Uβ上的坐標(biāo)變換。如果A的所有坐標(biāo)變換都是C可微的，則稱A為一個(gè)C地圖，其中1≤r≤∞。r也可等于ω，此時(shí)A稱為解析地圖。拓?fù)淞餍蜯的坐標(biāo)卡 (U，Φ) 稱為與A是Cr相容的，如果任意(Uα，Φα) ∈A，坐標(biāo)變換Φ·ΦαΦα·Φ均C可微。拓?fù)淞餍蜯的C地圖A稱為最大的，如果它包含M的所有與之C相容的坐標(biāo)卡。M上的最大C地圖A稱為M的C微分結(jié)構(gòu)。(M，A)稱為C微分流形，或簡(jiǎn)稱為C流形。當(dāng)r=∞時(shí)，C微分結(jié)構(gòu)也稱為光滑結(jié)構(gòu)，C流形也稱為光滑流形。r=ω時(shí)，C結(jié)構(gòu)也稱為解析結(jié)構(gòu)，C流形稱為解析流形。C流形(M，A)有時(shí)也簡(jiǎn)記為M。

從直觀上看，拓?fù)淞餍问蔷植繗W氏空間，局部之間用同胚映射(坐標(biāo)變換)粘貼在一起。n維C流形，不僅局部同胚于n維歐氏空間，而且局部之間是用C光滑、且其逆也C光滑的坐標(biāo)變換粘貼在一起。

兩個(gè)C流形M和N，f：M→N是連續(xù)映射，且任一點(diǎn)P∈M，有包含P點(diǎn)的M中的坐標(biāo)卡(U，Φ)以及包含f(P)的N中的坐標(biāo)卡(V，)，使得f(U)?V，同時(shí)，映射°f°Φ-1：Φ(U)→(V)是C光滑的(1≤r≤∞或r=ω)，則稱f是C映射。C映射也稱為光滑映射，C映射也稱為解析映射。其中稱為f的局部表示。

C流形M和N之間的同胚f：M→N，如果f和f均是C映射，則稱f是C微分同胚。

向量叢向量叢是流形切叢概念的抽象和推廣，它是微分拓?fù)鋵W(xué)和代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的重要研究對(duì)象。設(shè)E，B是拓?fù)淇臻g(B為T2空間)，π：E→B為連續(xù)滿映射.ξ=(E，π，B)稱為n維(實(shí)、拓?fù)?向量叢，若適合：

1.對(duì)于b∈B，Eb=π-1(b)是n維(實(shí))向量空間.

2.(局部平凡性)對(duì)于b∈B，存在b的鄰域U及同胚映射φ：π(U)→U×R，使得對(duì)于x∈U，φx=φ|Ex：Ex→{x}×R是向量空間的同構(gòu)。

此時(shí)，B稱為向量叢ξ的底空間，記為B(ξ)，E稱為向量叢ξ的全空間，記為E(ξ)，Eb稱為b∈B處的纖維，π稱為叢射影.上述適合條件2的(U，φ)稱為ξ的叢卡.ξ的一族叢卡的集合：

若∪α∈ΛUα=B，則稱為圖冊(cè)。進(jìn)而，設(shè)B是微分流形，對(duì)于ξ的圖冊(cè)Φ，若α，β∈Λ，Uα∩Uβ≠，圖冊(cè)的轉(zhuǎn)換函數(shù)gαβ：Uα∩Uβ→GL(n，R)是可微的，其中g(shù)αβ(x)=φβx°φαx：R→R，x∈Uα∩Uβ，GL(n，R)為可逆n階方陣組成的(實(shí))線性群，則稱為可微的。若圖冊(cè)Φ是ξ的極大的可微圖冊(cè)，則ξ=(E，π，B，Φ)稱為可微向量叢。此時(shí)，若B是m維微分流形，則ξ的全空間E是(n+m)維微分流形。流形的切叢、法叢、萬有叢等都是可微向量叢的常見例子。向量叢ξ=(E，π，B)也稱為B上的向量叢。3

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)