[科普中國]-(r,s)型張量叢

基本介紹

(r，s)型張量叢(tensor bundle of type (r,s) )是切叢與余切叢概念的推廣。謂(r，s)型張量叢，是指微分流形M上各點(diǎn)處切空間的(r，s)型張量空間的無交并，即M上(r，s)型張量叢

其中 表示 的(r，s)型張量空間。

(1，0)型張量叢就是切叢，而(0，1)型張量叢就是余切叢。與切叢類似，張量叢上也可以定義流形結(jié)構(gòu)與微分結(jié)構(gòu)，使張量叢成為一個(gè)微分流形1。

相關(guān)概念叢投影設(shè)M是n維 流形， 和 分別是M在a點(diǎn)的切空間和余切空間，因此在流形M的每一點(diǎn)a有(r，s)型張量空間。

這是 維向量空間2。

令 在 上引進(jìn)拓?fù)涫顾蔀橛锌蓴?shù)基的Hausdorff空間，稱 為流形M上的**(r，s)型張量叢**。

考慮流形M的一個(gè)坐標(biāo)系 在任意一點(diǎn) 和 分別有彼此對(duì)偶的自然基底 和 因此， 有基底

且對(duì)任意的 有

其中 。

定義 設(shè) 是M上的（r,s）型張量叢，映射 ，定義為 有 稱 為張量叢上的自然投影，簡稱叢投影。

設(shè) 是 映射，如果

(M 上的恒等映射)

即對(duì)任意的 則稱 是張量叢 的一個(gè)光滑截面，或稱M 上的**(r，s) 型光滑張量場**。

切叢 的截面就是M的切向量場，余切叢 的截面就是M上的微分1一形式2。

切叢、余切叢在(r，s)張量叢中，令就得到流形M上的( 1，0)型張量叢一切叢(tangent bundle)，亦即，切叢表示為

若令就得到流形M上的(0，1)型張量叢——余切叢(cotangent bundle)，亦即，余切叢表示為