[科普中國(guó)]-拉普拉斯變換法

形式定義

對(duì)于所有實(shí)數(shù)，函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換是函數(shù)F(s)，定義為：1

參數(shù)s是一個(gè)復(fù)數(shù)：

為實(shí)數(shù)。

拉普拉斯變換的其他表示法中使用而非F。 是一個(gè)運(yùn)算符號(hào)。

積分的含義取決于函數(shù)的類(lèi)型。該積分存在的一個(gè)必要條件是在f必須在上局部可積。對(duì)在無(wú)窮大處衰減的局部可積函數(shù)或指數(shù)式，該積分可以理解為（恰當(dāng)）勒貝格積分。然而，在很多應(yīng)用中有必要將其視作在處條件收斂的反常積分。更一般的，積分可以在較弱的意義上理解，在下面會(huì)去處理。

可以用勒貝格積分定義拉普拉斯變換為有限博雷爾測(cè)度

一種特殊情況是當(dāng)為概率測(cè)度，或者更具體地說(shuō)，是[[狄拉克函數(shù)]]時(shí)。在運(yùn)算微積中，拉普拉斯變換的測(cè)度常常被視作由分布函數(shù)f帶來(lái)的測(cè)度。在這種情況下，為了避免混淆，一般寫(xiě)作

其中是 0的下限的簡(jiǎn)化符號(hào)

這個(gè)極限強(qiáng)調(diào)任何位于 0 的質(zhì)點(diǎn)都被拉普拉斯變換完全捕獲。雖然使用勒貝格積分，沒(méi)有必要取這個(gè)極限，但它可以更自然地與拉普拉斯–斯蒂爾吉斯變換建立聯(lián)系。

逆變換兩個(gè)相異的可積函數(shù)，只有在其差的勒貝格測(cè)度為零時(shí)，才會(huì)有相同的拉普拉斯變換。因此以轉(zhuǎn)換的角度而言，存在其反轉(zhuǎn)換。包括可積分函數(shù)在內(nèi)，拉普拉斯變換是單射映射，將一個(gè)函數(shù)空間映射到其他的函數(shù)空間。典型的函數(shù)空間包括有界連續(xù)函數(shù)、函數(shù)空間L(0, ∞)、或是更廣義，在 (0, ∞) 區(qū)間內(nèi)的緩增廣義函數(shù)（函數(shù)的最壞情形是多項(xiàng)式增長(zhǎng)）。1

拉普拉斯逆變換有許多不同的名稱(chēng)，如維奇積分、傅立葉-梅林積分、梅林逆公式，是一個(gè)復(fù)積分：

其中是一個(gè)使F(s)的積分路徑在收斂域內(nèi)的實(shí)數(shù)。另一個(gè)拉普拉斯逆變換的公式是由Post反演公式而來(lái)。

在實(shí)務(wù)上一般會(huì)配合查表，將函數(shù)的拉普拉斯變換分換為許多已知函數(shù)的拉普拉斯變換，再利用觀察的方式產(chǎn)生其拉普拉斯逆變換。在微分方程中會(huì)用到拉普拉斯逆變換，會(huì)比用傅里葉轉(zhuǎn)換的處理方式要簡(jiǎn)單。

性質(zhì)和定理函數(shù)f(t)和g(t)的拉普拉斯變換分別為F(s)和G(s)：

單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)：

和的拉普拉斯變換等于各項(xiàng)的拉普拉斯變換的總和。

一個(gè)函數(shù)的倍數(shù)的拉普拉斯變換等于該函數(shù)的拉普拉斯變換的倍數(shù)。

初值定理：

，要求F(s)為真分式，即分子的最高次小于分母的最高次，否則使用多項(xiàng)式除法將{F(s)分解

終值定理：

，要求sF(s)的所有極點(diǎn)都在左半復(fù)平面或原點(diǎn)為單極點(diǎn)。

由于終值定理無(wú)需經(jīng)過(guò)部分分式分解或其他困難的代數(shù)就能給出長(zhǎng)期的行為，它就很有用。如果F(s)在右側(cè)面或虛軸上有極點(diǎn)，（例如f(t)=et}或 f(t)=sin(t)}）這個(gè)公式的行為就是未定義的。

應(yīng)用實(shí)例拉普拉斯變換在物理學(xué)和工程中是常用的；2線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸出可以通過(guò)卷積單位脈沖響應(yīng)與輸入信號(hào)來(lái)計(jì)算，而在拉氏空間中執(zhí)行此計(jì)算將卷積通過(guò)轉(zhuǎn)換成乘法來(lái)計(jì)算。后者是更容易解決，由于它的代數(shù)形式。

拉普拉斯變換也可以用來(lái)解決微分方程，這被廣泛應(yīng)用于電氣工程。拉普拉斯變換把線性差分方程化簡(jiǎn)為代數(shù)方程，這樣就可以通過(guò)代數(shù)規(guī)則來(lái)解決。原來(lái)的微分方程可以通過(guò)施加逆拉普拉斯變換得到其解。英國(guó)電氣工程師奧利弗·黑維塞第一次提出了一個(gè)類(lèi)似的計(jì)劃，雖然沒(méi)有使用拉普拉斯變換；以及由此產(chǎn)生的演算被譽(yù)為黑維塞演算。

工程學(xué)的應(yīng)用應(yīng)用拉普拉斯變換解常變量齊次微分方程，可以將微分方程化為代數(shù)方程，使問(wèn)題得以解決。在工程學(xué)上，拉普拉斯變換的重大意義在于：將一個(gè)信號(hào)從時(shí)域上，轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域（s域）上來(lái)表示，對(duì)于分析系統(tǒng)特性，系統(tǒng)穩(wěn)定有著重大意義；在線性系統(tǒng)，控制自動(dòng)化上都有廣泛的應(yīng)用。