[科普中國]-局部化

詳細(xì)介紹

分式環(huán)的造法以及與它相關(guān)聯(lián)的局部化方法大概是交換代數(shù)中最重要的技術(shù)性工具．它們相當(dāng)于在代數(shù)幾何圖形里把注意力集中到一個開子集上或一點的近傍；這些概念的重要性是顯然的2。

局部化，是分式環(huán)的另一名稱，分式環(huán)(fractional ring)全稱為“具有單位元的交換環(huán)R關(guān)于可乘子集S的分式環(huán)”．R的一個子集S若滿足：(1)R的單位元e∈S,(2)S關(guān)于乘法是封閉的．則稱S為可乘集．在集合

R×S={(r，s)|r∈R,s∈S}

中定義等價關(guān)系：(a,s)~(b,t)?存在μ∈S,使(at—bs)μ=0．將(a，s)的等價類記為 ．在等價類所成集合中規(guī)定加法和乘法運算：

則該集合成環(huán)，稱為分式環(huán)．記作 或 ．一般R不能嵌入 中，但當(dāng)S是R的所有非零因子集合時，R可以嵌入 中，這時 簡稱為R的分式環(huán)．若R還是整環(huán)。取S=R\{0}，則分式環(huán) 就是R的商域．又如R為整數(shù)環(huán)Z，p為素數(shù)，取S=R\(p)，則分式環(huán) 是所有表成既約分式時分母與p互素的有理數(shù)全體所成的環(huán)3。

相關(guān)定理與性質(zhì)定理14 交換環(huán)R可嵌人到它的分式環(huán)A中，R中非零因子在A中有逆元。若R有非零因子，則A是含單位元的環(huán)。

性質(zhì)：

1)設(shè)p是A的素理想． 那么它的補(bǔ)集S=A\p是乘法封閉的(事實上A\p是乘法封閉的?P是素理想)． 這時將 寫作Ap．形如a/s的元素，這里a∈p，組成A中一個理想m．如果b/t? m，那么b?p，因此b∈S，于是b/t是Ap中可逆元．由此推出，如a是Ap中的理想而a?m，那么a就含一個可逆元，因而是整個環(huán)．因此，m是環(huán)An中僅有的極大理想；換句話說，Ap是局部環(huán)．從A轉(zhuǎn)化到Ap的過程叫做在p的局部化．

2) 是零環(huán)?0∈S． ．

3)設(shè)f∈A而S={f?)n>0．這時將寫作Af．

4)設(shè)a是A中任一理想，并且令S=1+a是一切1+x，x∈a，所成的集．顯然S是乘法封閉的2．

更多內(nèi)容請參考書籍《現(xiàn)代數(shù)學(xué)譯叢 交換代數(shù)導(dǎo)引》等。