[科普中國(guó)]-富克斯方程

富克斯方程（Fuchs equation）是一類具有特殊奇性且在數(shù)學(xué)物理中有很廣背景的線性方程。

簡(jiǎn)介富克斯方程是一類具有特殊奇性且在數(shù)學(xué)物理中有很廣背景的線性方程。

一個(gè)n階線性方程

如果它有有限個(gè)正則奇點(diǎn)，同時(shí)又以無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)∞為正則奇點(diǎn)，則稱為富克斯方程，此時(shí)系數(shù)可寫(xiě)成下面形狀

其中 為一多項(xiàng)式，其次數(shù)最多為 h(k-1)。1

性質(zhì)考慮一個(gè)二階富克斯方程

可設(shè)有限奇點(diǎn)點(diǎn)個(gè)數(shù)k大于2（否則方程較平凡），故可設(shè)

則其中 q(z),r(z) 各為次數(shù)不高于 k-1或2(k-1)的多項(xiàng)式，將其分解為部分分式

另一方面，下面方程稱為(1)在 的指數(shù)，并以 及 分別記(1) 的在正則奇點(diǎn)，∞處點(diǎn)指數(shù)，富克斯證明，當(dāng)(1) 僅有三個(gè)正則奇點(diǎn)時(shí)，上述系數(shù) 將由指數(shù)及完全確定，換言之，富克斯方程將由其指數(shù)完全確定，為此黎曼給出富克斯方程的下列記號(hào)

結(jié)構(gòu)定理設(shè)，則存在一個(gè)以 為正則奇點(diǎn)，以上述值為指數(shù)的富克斯方程的充分必要條件時(shí)此時(shí)方程形為

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胡啟洲 - 副教授 - 南京理工大學(xué)