[科普中國]-戴德金整環(huán)

概念

戴德金整環(huán)(Dedekind domain)是一維諾特整閉整環(huán)。整環(huán)R稱為戴德金整環(huán)。若滿足以下三個條件：

1.R是諾特環(huán).1

2.R在其商域中整閉.

3.dim R=1(其中dim表示克魯爾維數(shù))，也即R不是域且非零素理想均為極大理想.

在戴德金整環(huán)R中每個準素理想均為素理想的冪，從而每個非零理想均可惟一(不計因子次序)地表示為有限個素理想的積。由庫默爾(Kummer，E.E.)開創(chuàng)，戴德金(Dedekind，(J.W.)R.)所建立起來的戴德金整環(huán)的理論已十分完整，但有些重要的諾特環(huán)，例如，域F和整數(shù)環(huán)Z上多項式環(huán)F[x1，x2，…，xn]，Z[x1，x2，…，xn]均非戴德金整環(huán)。

環(huán)環(huán)是對并與差運算封閉的集類，測度論中重要概念之一。設(shè)F是Ω上的一個非空集類。如果它對集的并及差運算封閉，即對任何A，B∈F，都有A∪B∈F，A\B∈F，則稱F為Ω上的環(huán)。例如，若F是由實直線R上任意有限個左開右閉的有限區(qū)間的并集：

的全體構(gòu)成的集類，則F是R上的一個環(huán)。環(huán)也是對于交與對稱差運算封閉的集類，并按這兩種運算成為布爾環(huán)。要把R上的勒貝格測度和勒貝格-斯蒂爾杰斯測度以及相應(yīng)的積分理論推廣到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集類并研究其性質(zhì)。環(huán)以及半環(huán)、σ環(huán)、代數(shù)、σ代數(shù)等重要集類正是為了這一目的而引入的。

整環(huán)非退化為{0}且沒有0因子的交換環(huán)稱為整環(huán)。

環(huán)Z是整環(huán)。設(shè)n為非零自然數(shù)；為使環(huán)Z/nZ為整環(huán)，必須且只須n是素數(shù)。 任一交換體是整環(huán)對任一整環(huán)A，系數(shù)取自A中含一個未定元的全體多項式之環(huán)A[X]，系數(shù)取自A中的全體形式級數(shù)之環(huán)A[[X]]都是整環(huán)。 由此推知，系數(shù)取自交換體K中含p個未定元的全體多項式之環(huán)K[X1，X2，…，Xp]及含p個未定元的全體形式級數(shù)之環(huán)K[[X1，X2，…，Xp]]都是整環(huán)。2

諾特環(huán)設(shè)R是一個有單位元的交換環(huán)，如果R的每個理想鏈I1?I2?I3?…都存在整數(shù)n，使得對任何i≥n，Ii=In，則稱R是一個諾特環(huán)。設(shè)R是一個交換環(huán)，R的理想Q稱為準素理想，如果Q≠R，對任意的a，b∈R，若ab∈Q，a?Q，則必存在正整數(shù)n，使得b∈Q。設(shè)I是交換環(huán)R的理想，I的根(或稱冪零根)是包含I的所有素理想之交，記作或radI。準素理想的根是一個素理想，這個素理想稱為與Q結(jié)合的素理想，或Q是屬于這個素理想的準素理想。交換環(huán)R中的理想I稱為有準素分解，如果I=Qi∩…∩Qn，其中Qi，i=1，…，n都是準素理想。如果每個Qi都不包含Q1∩…∩Qi-1∩Qi+1∩…∩Qn，而且Qi的根互不相同，則稱這樣的準素分解是既約的。一個有單位元的交換環(huán)R是諾特環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R的每個理想是有限生成的，當(dāng)且僅當(dāng)R滿足理想的極大條件：對R的任一個理想的非空族{Iλ}，其中必存在極大元I，即若J∈ {Iλ}，I?J，則I=J。含幺交換環(huán)是諾特環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每個素理想是有限生成的。諾特環(huán)R的每個理想I，I≠R，有準素分解，而且若I=A1∩…∩An，I=B1∩…∩Bm是兩個既約準素分解，其中Ai是屬于Pi的準素理想，Bj是屬于Qj的準素理想，則n=m，而且適當(dāng)重排順序后，Pi=Qi。環(huán)R的非空子集S稱為R的一個乘閉子集，如果對任何a，b∈S，ab∈S。設(shè)S是交換環(huán)R的一個乘閉子集，在集合R×S上定義一個關(guān)系～： (r，s) ～ (r′，s′)，如果存在S1∈S使得s1(rs′-r′s) =0，這個關(guān)系是一個等價關(guān)系，(r，s)所在等價類記作r/s，R×S的全體等價類做成的集合記作SR，在SR中定義則SR做成一個有單位元的交換環(huán)。SR稱為R對于S的分式環(huán)。一個有單位元的交換環(huán)稱為局部環(huán)，如果它只有一個極大理想。設(shè)R是有單位元的交換環(huán)，P是R的素理想，令S=R\P，則S是R的乘閉子集，分式環(huán)SR是一個局部環(huán)，稱為R在P處的局部化，記作Rp。設(shè)S是諾特環(huán)R的乘閉子集，則SR也是諾特環(huán)。設(shè)R是—個諾特環(huán)，R[x1，…，xn]是R上文字x1，…，xn的多項式全體做成的環(huán)，則R[x1，…，xn]也是諾特環(huán)，這個結(jié)論稱為希爾伯特基定理。設(shè)R是一個諾特環(huán)，R[[x]]是R上文字x的形式冪級數(shù)全體做成的環(huán)，則R[[x]]也是諾特環(huán)。

人物簡介——戴德金德國數(shù)學(xué)家。生于不倫瑞克，卒于同地。早年在格丁根大學(xué)求學(xué)，是高斯的得意門生。1852年獲博士學(xué)位。1854年留校任教，與狄利克雷和黎曼結(jié)為好友。1858—1862年應(yīng)邀任瑞士蘇黎世綜合工科學(xué)校教授。1862年返回家鄉(xiāng)，在不倫瑞克綜合工科學(xué)校執(zhí)教，直至逝世。戴德金是格丁根、柏林、巴黎、羅馬等科學(xué)院的成員，還被歐洲幾所大學(xué)授予榮譽博士稱號。其主要貢獻在實數(shù)理論和代數(shù)數(shù)論方面。他注意到當(dāng)時的微積分學(xué)實際上還缺乏嚴密的邏輯基礎(chǔ)，對無理數(shù)還沒有嚴密的分析和論證，因而提出用所謂“戴德金分割”來定義無理數(shù)，并對連續(xù)性理論進行深入研究，為實數(shù)理論的建立做出了不可磨滅的貢獻。1872年，他的《連續(xù)性與無理數(shù)》出版，使他與G.康托爾、外爾斯特拉斯等人成為現(xiàn)代實數(shù)理論的奠基人。在代數(shù)數(shù)論方面，他建立了現(xiàn)代代數(shù)數(shù)和代數(shù)數(shù)域的理論。他的代數(shù)數(shù)理論是高斯的復(fù)整數(shù)和庫默爾代數(shù)數(shù)的一般化，后來他又用另一種方法重建代數(shù)數(shù)中的唯一因子分解定理。他深入研究各種代數(shù)結(jié)構(gòu)，特別引入環(huán)的概念，給出理想子環(huán)的一般定義，后來把滿足理想唯一分解條件的整環(huán)稱作戴德金環(huán)。他在代數(shù)數(shù)論方面的工作對19世紀數(shù)學(xué)產(chǎn)生了深遠影響。他的著作還有《數(shù)的意義》(1888)等。他還編輯出版了狄利克雷和黎曼的全集。3