[科普中國]-擬正規(guī)族

概念

擬正規(guī)族(quasi-normal family)是正規(guī)族概念的一種推廣。在擬正規(guī)族的定義中不要求子序列fnk(z)(k=1，2，…)在D的內(nèi)部一致收斂，而只要求除去D內(nèi)有窮個(gè)點(diǎn)(或無窮個(gè)點(diǎn)但在D內(nèi)沒有凝聚點(diǎn))，在所余的區(qū)域內(nèi)部一致收斂。

正規(guī)族正規(guī)族是具有某種收斂性質(zhì)的函數(shù)族。定義如下：在一個(gè)區(qū)域D的一個(gè)全純函數(shù)族F稱為在D內(nèi)為正規(guī)，如果從F的每一個(gè)函數(shù)序列fn(z)(n=1，2，…)都可以選出一個(gè)子序列fnk(z)(k=1，2，…)，使得它在D的內(nèi)部一致收斂到一個(gè)全純函數(shù)或一致發(fā)散到∞。2

一個(gè)全純函數(shù)族F在一個(gè)區(qū)域D內(nèi)為正規(guī)的一個(gè)充分條件都稱為正規(guī)性定則。蒙泰爾(Montel，P.A.)指出：如果F是區(qū)域D內(nèi)一致有界的全純函數(shù)族，則F是正規(guī)族.經(jīng)過進(jìn)一步的研究，蒙泰爾證明了“F中的函數(shù)在D內(nèi)均不取二固定的有窮值a及b”是一個(gè)正規(guī)性定則。由蒙泰爾的這個(gè)重要的正規(guī)性定則，很容易推出皮卡的小定理及大定理，由它還很容易推出肖特基定理及蘭道定理。為了說明蒙泰爾的這個(gè)正規(guī)性定則的另一個(gè)應(yīng)用，先引進(jìn)下列定義：設(shè)F為在一區(qū)域D的一個(gè)全純函數(shù)族并考慮D內(nèi)一點(diǎn)z0，如果存在一個(gè)以z0為中心的圓C，使在C內(nèi)F為正規(guī)，則稱F在z0為正規(guī)。顯然，如果F在D內(nèi)為正規(guī)，那么，F(xiàn)在D內(nèi)每點(diǎn)為正規(guī)。反過來，如果F在D內(nèi)每一點(diǎn)為正規(guī)，那么F在D為正規(guī)。因此，假定已知F在D為不正規(guī)，那么至少存在D內(nèi)一點(diǎn)z0，使F在z0不正規(guī)，這樣的點(diǎn)z0稱為一茹利亞點(diǎn)。根據(jù)最后這個(gè)事實(shí)及上述蒙泰爾的正規(guī)性定則，茹利亞(Julia，G.M.)證明了下列定理：如果f(z)是一個(gè)超越整函數(shù)，那么，最少存在一條茹利亞方向。

正規(guī)族的理論有廣泛的應(yīng)用，它是蒙泰爾于1912年引進(jìn)的.蒙泰爾引進(jìn)正規(guī)族的概念之后，又進(jìn)一步引進(jìn)了擬正規(guī)族的概念。利用正規(guī)族和擬正規(guī)族兩個(gè)概念，蒙泰爾推廣了維塔利(Vitali，G.)的一個(gè)定理。經(jīng)過卡拉西奧多里(Carathéodory，C.)、蘭道(Landau，E.G.H.)、蒙泰爾及奧斯特洛夫斯基(Ostrowski，A.M.)的工作，亞純函數(shù)正規(guī)族理論也已建立起來.如果一致收斂性是用球面距離來定義，那么，亞純函數(shù)的正規(guī)族的定義如下：在一個(gè)區(qū)域D的一個(gè)亞純函數(shù)族F稱為在D內(nèi)為正規(guī)，如果從F的每一函數(shù)序列fn(z)(n=1，2，…)，都可以選出一個(gè)子序列fnk(z)(k=1，2，…)在D的內(nèi)部一致收斂。關(guān)于亞純函數(shù)族蒙泰爾的正規(guī)性定則是：F中的函數(shù)在D內(nèi)均不取三個(gè)固定的值a，b及c(有窮或無窮).類似地可給出亞純函數(shù)擬正規(guī)族的定義。

全純函數(shù)正規(guī)族及亞純函數(shù)正規(guī)族理論已經(jīng)發(fā)展到了完善的地步。這個(gè)理論中的一個(gè)重要研究課題是尋求新的正規(guī)性定則，在這方面，布洛赫(Bloch，A.)的下列猜測很有指導(dǎo)意義：如果p是一個(gè)性質(zhì)，非常數(shù)的整函數(shù)(或非常數(shù)的亞純函數(shù))不具有性質(zhì)p，那么，在一個(gè)區(qū)域內(nèi)具有性質(zhì)p的全純函數(shù)族(或亞純函數(shù)族)是正規(guī)的。這個(gè)猜測在一些例子中都是對的，例如與關(guān)于整函數(shù)的劉維爾(Lioville，J.)定理相應(yīng)的是以上蒙泰爾的關(guān)于一致有界的全純函數(shù)族的定理，與關(guān)于整函數(shù)的皮卡定理相應(yīng)的是以上蒙泰爾的關(guān)于有兩個(gè)有窮例外值的全純函數(shù)族的定則。

收斂當(dāng)無窮級(jí)數(shù)、無窮序列或無窮乘積的極限存在，就稱為收斂或具有收斂性。

例如，對于一個(gè)數(shù)a及數(shù)列{an}，如果對任意的ε>0，都存在一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，都有丨a-an丨0，存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，對于所有的x∈A，有|fn(x)-f(x)|0，存在與y無關(guān)的δ>0，使得只要|x-x0|0，使得只要y>M，就對一切x∈E有|f(x，y)-φ(x)|