[科普中國(guó)]-李亞普諾夫特征數(shù)

李亞普諾夫特征數(shù)是指定量描述變系數(shù)線性方程組解的穩(wěn)定性態(tài)的一種數(shù)。

簡(jiǎn)介概述李亞普諾夫特征數(shù)是指定量描述變系數(shù)線性方程組解的穩(wěn)定性態(tài)的一種數(shù)。

對(duì)于變系數(shù)線性方程組

其中 P(t) 在 t≥τ 上連續(xù)，李亞普諾夫引進(jìn)了一些數(shù)，現(xiàn)在稱之為李亞普諾夫特征數(shù)，來(lái)代替特征根的作用，它們是用來(lái)測(cè)定時(shí)其解的“指數(shù)”增長(zhǎng)的數(shù)。

具體內(nèi)容李亞普諾夫特征數(shù)，設(shè)φ(t) 是定義與t≥τ 上的實(shí)函數(shù)，則

為左端無(wú)窮的區(qū)間，令 為 的右端點(diǎn)，而

為右端無(wú)窮的區(qū)間，令 為 的左端點(diǎn)，如果，，都是有限的，則必有,定義這一公共值為φ 的李亞普諾夫特征數(shù)λ(φ). 如果它們之一為無(wú)窮，則λ(φ) 為無(wú)窮。

事實(shí)上

向量函數(shù)中的定義如果 為定義于t≥τ 上的向量函數(shù)，則其李亞普諾夫特征數(shù)定義為

如果矩陣 P(t) 對(duì)于大的 t 為連續(xù)有界，則：

1、變系數(shù)線性方程組（1）的每個(gè)解x(t) 的李亞普諾夫特征數(shù)λ(x) 是一個(gè)有限數(shù)

2、令 X 為變系數(shù)線性方程組（1）的所有解的集合，則數(shù)集 是一個(gè)有限集

事實(shí)上，當(dāng) 時(shí)，λ(x) 為的特征根的實(shí)部的反號(hào)數(shù)，當(dāng)λ(x) 由正數(shù)構(gòu)成時(shí)，變系數(shù)線性方程組 (1) 當(dāng)原點(diǎn)為漸近穩(wěn)定的。1

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡啟洲 - 副教授 - 南京理工大學(xué)