[科普中國(guó)]-差分微分方程

簡(jiǎn)介

常微分方程是含有未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程，差分方程中含有未知函數(shù)及其差分，但不含有導(dǎo)數(shù)，微分差分方程是同時(shí)含有未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)和差分的方程。它同時(shí)具有常微分方程和差分方程的特點(diǎn)，而以二者作為特殊情況。從歷史發(fā)展看，微分差分方程的產(chǎn)生和發(fā)展并不是二者形式上的推廣，而是來自許多不同學(xué)科的實(shí)際問題。

對(duì)一個(gè)物理或技術(shù)系統(tǒng)，往往要考慮時(shí)間延遲的作用。例如在火箭控制理論中，燃燒室壓力x(t) 的運(yùn)動(dòng)方程為 ，壓力的變化率x(t)不僅依賴于當(dāng)時(shí)的壓力x(t),而且明顯的依賴于過去的壓力狀況x(t-τ)，τ稱為時(shí)滯，它反映了燃料從射進(jìn)燃燒室到即將燃燒的臨界狀態(tài)需要一段時(shí)間。這個(gè)方程是一種簡(jiǎn)單的含常數(shù)偏差變?cè)奈⒎址匠獭?/p>

考慮含多個(gè)時(shí)滯的微分差分方程

式中，時(shí)滯 為常數(shù)，如果這些常數(shù)全為正，稱方程為滯后型方程；如果全為負(fù)，則稱為超前型方程。若方程右端有導(dǎo)數(shù)的滯后項(xiàng) 稱為中立型方程。對(duì)于高階方程或方程組也有類似的分類。

發(fā)展歷史20 世紀(jì)30 年代起對(duì)偏差變?cè)⒎址匠踢M(jìn)行了系統(tǒng)的研究。

貝爾曼和庫克(Bellman and Cooke,1963)，埃利斯戈?duì)柎?EI’sgol’tz,1964) 總結(jié)了1960 年以前的成果。

50 年代末H.H.克拉索夫斯基(Krasovskii 1959) 把偏差變?cè)⒎址匠谭诺胶瘮?shù)空間來考慮，如方程 中的偏差滿足條件 ，則方程右端可看成是 上函數(shù)x(·) 的泛函，從而微分差分方程成為推動(dòng)泛函微分方程發(fā)展的基本原型。微分差分方程特別是滯后型方程在物理學(xué)、力學(xué)、控制理論與技術(shù)，以及生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)城都有廣泛的應(yīng)用。

初值問題滯后型方程 （其中 ）在時(shí)刻t?的初值問題是在初值條件 ，下求t>t?的解x(t)。通過把這個(gè)問題化為常微分方程的分步法，可以討論解的存在性、唯一性問題，并對(duì)簡(jiǎn)單的方程逐步求解。在區(qū)間 上等價(jià)的常微分方程初值問題為 。

設(shè) 在 連續(xù)，且 ，φ(t)是區(qū)間 上的連續(xù)函數(shù)，則在區(qū)間 上方程 存在滿足初值條件 的連續(xù)解 。

若 對(duì) 上每一個(gè)φ(t)，函數(shù) 是連續(xù)的，且f關(guān)于 在 的小鄰城內(nèi)滿足利普希茨條件，則上述解是唯一的，并且解關(guān)于初值函數(shù)φ是連續(xù)依賴的。用不動(dòng)點(diǎn)定理和格朗瓦爾(Gronwall)不等式可以證明上述存在性和唯一性。對(duì)于中立型方程，也可以用分步法求解，但初值函數(shù)φ應(yīng)該是可微的。

若f關(guān)于變量有足夠多次的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，滯后型方程的解在向右開拓時(shí)，光滑度增加，若，x3(t)在上連續(xù)，而在處一般有第一類間斷；至于向左邊開拓，即使是一階方程也不一定可能。

若式中時(shí)滯h?為t的連續(xù)函數(shù)，，τ，γ為常數(shù)，以上的存在唯一性的結(jié)論仍然成立。1