[科普中國]-m耗散算子

定義

記 的對偶集是 從Hahn-Banach定理知， 。

設A是X中的線性算子，稱A為耗散的，如果 存在 使得 稱A是保守耗散的，如果 稱A是m耗散的(或m保守耗散的)，如果A 是耗散的(或保守耗散的) ，且 。

相關性質(zhì)首先考慮耗散算子的刻劃與性質(zhì)。

定理1 (a) A 是耗散的的] 。

若A是稠定的耗散算子，則

(b) A是可閉的，且 是耗散的。若再設 則A是m耗散的。

(c) 是m耗散的 A*是m 耗散的 A*是耗散的 。

其次考慮收縮半群的刻劃及m耗散算子的性質(zhì)。

定理2 (a) (Lumer-Phillips) 是稠定的m耗散算子。

若A是m耗散的，且

（b） 則 。

（c）X是自反的，則 。

（d） 為A在 中的部分，則 。

現(xiàn)在利用m保守耗散算子來刻劃等距半群。

定理3 (a) A生成一等距半群 A是稠定的m保守耗散算子。

(b)設A是m保守耗散算子，則A在 中的部分 生成 中一等距半群。

定理4 以下結(jié)論等價：

(a)A生成一等距群

(b)A是稠定的，且 均為m耗散的。

(C) A是稠定的， 且 。

**注:**若A生成等距群，則 且 有界當且僅當 特別 若A生成等距半群，但不生成等距群，則 且 是X的真閉子空間及 。

定理5 (Cooper)A在H中生成一個等距半群 是極大對稱的算子，且。