[科普中國(guó)]-瑞利商迭代法

概念

瑞利商迭代法(Rayleigh quotientiterationmethod)是一種用瑞利商作位移的反冪法。反冪法的收斂性和冪法本身一樣是線性的。不像冪法之處是只要充分接近，反冪法的收斂性系數(shù)可以任意小。對(duì)這一點(diǎn)的觀察導(dǎo)致在中當(dāng)收斂到一特征向量時(shí)，每步迭代均選取特征值的“最佳猜測(cè)”，自適應(yīng)地改變參數(shù)的概念。這樣，瑞利商迭代法與反冪法不同之處，在于每一迭代步，在中用瑞利商代替。我們用規(guī)范化的的殘量的長(zhǎng)度來度量向量滿足特征向量條件的偏差。具體地說，準(zhǔn)則是

瑞利商迭代法值得注意的是，按我們現(xiàn)在形式上敘述的誤差，收斂性是平方的，甚至是立方的（三階的）。1

基本原理定理：設(shè)是按瑞利商迭代法構(gòu)成的，并假定在每步迭代，對(duì)某確定的，滿足，若以表示殘量的長(zhǎng)度，即

則對(duì)于某常數(shù)和，

證明：設(shè)表示一個(gè)特征向量的估計(jì)值，假定，且實(shí)部，這里是的第一個(gè)分量，設(shè)是變換使

可分解為，類似于下面的分塊結(jié)論是正確的：

式中顯然是對(duì)的瑞利商，且是維向量。

利用酋陣的性質(zhì)，得到若按的定義則

鑒于，得到誤差的關(guān)系式

設(shè)是由瑞利商迭代決定的，它是向量的非規(guī)范化的后繼向量，即設(shè)

再利用酋陣的性質(zhì)，求得

式中，以左乘得到

與比較，得到結(jié)論