[科普中國]-波萊爾域

波萊爾域的數(shù)學(xué)定義

設(shè) 是 的子集的一個(gè)非空類，當(dāng)且僅當(dāng)滿足

時(shí)， 稱為域。

當(dāng)且僅當(dāng)滿足

時(shí)， 稱為單調(diào)類。

當(dāng)且僅當(dāng)滿足

時(shí)， 稱為波萊爾域。1

波萊爾域的數(shù)學(xué)性質(zhì)1 一個(gè)域?yàn)椴ㄈR爾域的充分必要條件是它也是一個(gè)單調(diào)類

的所有子集的類 是一波萊爾域，稱為全波萊爾域，兩個(gè)集 的類是一波萊爾域，稱為平凡波萊爾域，設(shè) 是任一個(gè)指標(biāo)集，且對每個(gè) 是一波萊爾域（或者單調(diào)類），則所有這些波萊爾域的交，即屬于所有的 的集所成的類，也是一個(gè)波萊爾域。對于任給的非空集類 ，存在一個(gè)包含它的一個(gè)最小的波萊爾域，它正好就是包含 的所有波萊爾域的交，易知，這種波萊爾域至少存在一個(gè)，即上面提到的 。這個(gè)最小的波萊爾域也稱為是由 產(chǎn)生的。特別是，如果 是一個(gè)域，則存在包含 的一個(gè)最小的波萊爾域。

2 設(shè) 是一個(gè)域， 是包含 的最小單調(diào)類， 是包含 的最小波萊爾域，則 .1

波萊爾代數(shù)的生成當(dāng)X是一個(gè)度量空間時(shí)，博雷爾代數(shù)可以用如下生成的方法描述。

對于X的一族子集T（即X的冪集P(X)的任何子集），令

1 Tσ為T中元素的可數(shù)并的全體

2 Tδ為T中元素的可數(shù)交的全體

3 Tδσ=(Tδ)σ.

現(xiàn)在利用超限歸納法定義如下的序列，其中m是一個(gè)序數(shù)：

1 對于初始的情況，定義

的所有開子集全體。

2 如果i不是極限序數(shù)，那么i是i-1的后繼序數(shù)。令

3 如果i是極限序數(shù)，令

我們現(xiàn)在可以說博雷爾代數(shù)是 ，其中ω1是第一不可數(shù)序數(shù)，即勢為 ??的序數(shù)集。這意味著博雷爾代數(shù)可以通過開集全體的迭代運(yùn)算

至第一不可數(shù)序而生成。

為了證明這一點(diǎn)，首先注意到度量空間中的任何開集都是一列遞增緊集的并。特別地，易知對于任何極限序數(shù)m，集合的差運(yùn)算將映射到自身；而且，當(dāng)m是不可數(shù)的極限序數(shù)時(shí)，在可數(shù)并運(yùn)算下是封閉的。

注意到對于每一個(gè)博雷爾集B，存在一個(gè)可數(shù)序數(shù)αB使得B可以通過αB多次迭代后得到。但是隨著B取遍所有博雷爾集，αB也會(huì)相應(yīng)地取遍所有可數(shù)序數(shù)，故而要得到所有博雷爾集所需的最靠前的序數(shù)是ω1，即第一不可數(shù)序數(shù)。

非波萊爾域下面描述了盧津給出的一個(gè)實(shí)數(shù)集上的子集不是波萊爾域的例子。與之形成對比的是，不可測集的例子是無法給出的，不過其存在性是可以證明的。

每一個(gè)無理數(shù)都有一個(gè)唯一的連分?jǐn)?shù)表示

其中是一個(gè)整數(shù)，其余的都是正整數(shù)。令A(yù)為對應(yīng)序列的無理數(shù)組成的集合，而且其中的元素滿足下列性質(zhì)：存在一個(gè)無限子序列使得序列中每一個(gè)元素都是下一個(gè)元素的因子。這個(gè)集合A不是波萊爾域。2