[科普中國]-算術(shù)差

簡介

算術(shù)差(arithmetical difference)是一種數(shù)論函數(shù)。對任何兩個自然數(shù)x，y，它們之差可能是負數(shù)。因此，通常的差函數(shù)λxy(x-y)并不是數(shù)論函數(shù)。但是，差函數(shù)的下列修改形式是一個數(shù)論函數(shù)：

此函數(shù)稱為算術(shù)差或點減，與通常的差函數(shù)相應的另一個數(shù)論函數(shù)是絕對差 ，它表示自然數(shù)x，y之差的絕對值 ，即。因此

前驅(qū)函數(shù)可用算術(shù)差表示出來：

反之，算術(shù)差可定義 為 x 的第 y 個前驅(qū)。也可以用原始遞歸式(實為原始復迭式)定義出來1：

數(shù)論函數(shù)算術(shù)差作為一種數(shù)論函數(shù)，而數(shù)論函數(shù)（number-theoretic function）是一種特殊函數(shù)，指自變元和函數(shù)值均取值于自然數(shù)的函數(shù)。若 f 為 n 元函數(shù)，并且

則稱 f 為 n 元數(shù)論函數(shù)。若 φ 為 n 元部分函數(shù)，而且

則稱 φ 為部分數(shù)論函數(shù)（partial number-theoretic function）；當時，特稱為全數(shù)論函數(shù)（all number-theoretic function）。類似地，若 n 元謂詞 P 的定義域是ωn之子集時，稱 P 為數(shù)論謂詞（number-theoretic predicate）。1