[科普中國]-克勒一愛因斯坦度量

克勒-愛因斯坦度量( )是一類特殊的克勒度量，設(shè) 是克勒流形， 為里奇曲率張量，若 滿足 ，則稱 為 上的克勒-愛因斯坦度量，這時(shí)， 稱為克勒-愛因斯坦流形1。

卡拉比猜想(Calabi conjecture)是關(guān)于克勒度量的一個(gè)著名猜想，卡拉比(E.Calabi)于1954年在一篇關(guān)于“克勒度量的空間”的文章中提出如下猜測：設(shè)M是緊致克勒流形，為克勒形式，為里奇形式，若給定的實(shí)閉形式的上同調(diào)類與的上同調(diào)類一致，則在上存在一種且只存在一種具有下列性質(zhì)的克勒度量：

1.其克勒形式和決定相同的上同調(diào)類，即；

2.其里奇形式與給定的一致。

卡拉比已證明了惟一性，里奇形式ρ的重要性在于M的第一陳類與一致，卡拉比特別關(guān)心的情況，在命題“若，則存在里奇形式為0的克勒度量”的假設(shè)下，他證明了上述猜測的特殊情況，所要求的用適當(dāng)?shù)膶?shí)數(shù)φ可以寫成，于是問題可歸結(jié)為求下列φ的微分方程：，其中是由和

而定的實(shí)函數(shù)，與上述猜測(通常稱為第一猜測)有關(guān)尚有下列第二猜測：若為緊致流形，第一陳類C1為負(fù)，則滿足的克勒度量存在且只有一個(gè)，這種度量就是所謂克勒-愛因斯坦度量，這時(shí)微分方程變?yōu)?/p>

奧平(T.Aubin)（即下文“奧賓”）于1976年初解決了第二猜測，而丘成桐于1976年底把兩個(gè)猜測都解決了，卡拉比猜測的解決，使得克勒-愛因斯坦流形的研究更加重要1。

解決卡拉比猜想的榮譽(yù)亳無爭議的屬于丘成桐，但是在20世紀(jì)70 年代還有一個(gè)比丘成桐大7 歲的年輕人，他在卡拉比猜想上的工作需要提及，即法國數(shù)學(xué)家奧賓。奧賓生前就職于法國朱西厄數(shù)學(xué)中心，1990 年當(dāng)選法國科學(xué)院通訊院士，2003 年成為法國科學(xué)院院士，主要研究方向是微分幾何和非線性偏微分方程，他被稱為法國幾何分析的一個(gè)重要先驅(qū)，他廣為人知的兩個(gè)研究是山邊問題和卡拉比猜想（關(guān)于以下內(nèi)容及其更多詳細(xì)內(nèi)容請參考文后相應(yīng)參考文獻(xiàn)）2。

對于奧賓在卡拉比猜想上的工作，主要體現(xiàn)在3 篇論文中：一篇是1970 年的《黎曼度量和曲率》，有42 頁；一篇是1976 年的《緊凱勒流形的復(fù)蒙日-安培方程》，有3 頁；還有一篇是與1976 年論文同名的1978 年的論文，這個(gè)論文主要是對1976 年論文的詳細(xì)論述，有33 頁。

在1970年的論文中，奧賓在第一陳類為負(fù)，且假定凱勒流形具有非負(fù)全純雙截曲率情況下，求解了類似丘成桐的右邊為 的復(fù)蒙日-安培方程；在1976 年的論文中，奧賓充分論證了第一陳類為負(fù)的情況，并且在第一陳類為正的情況下；求解了類似丘成桐的右邊為 的復(fù)蒙日-安培方程；從而給出了卡拉比猜想的一個(gè)部分證明。在1978 年的論文中，奧賓對1976 年論文進(jìn)行了更加詳細(xì)的論述，論文頁數(shù)由3頁變?yōu)?3頁。

阿布德塞拉姆(A.B.Abdesselem)在紀(jì)念?yuàn)W賓的文字中指出：奧賓最后幾乎完全證明了卡拉比猜想。在丘成桐之前，奧賓的這些工作確實(shí)是一個(gè)巨大的貢獻(xiàn)，但是數(shù)學(xué)界并未因此而震驚。丘成桐認(rèn)為原因有兩個(gè)：一是奧賓是在假定凱勒流形具有非負(fù)全純雙截曲率的情況下，給出的卡拉比猜想的證明，這種具有非負(fù)全純雙截曲率的凱勒流形的類是相當(dāng)有限制性的； 二是在證明中，奧賓使用了變分法，這種方法不是很容易理解的。就是奧賓本人在后來的著作中也提到了這一點(diǎn)，他說連續(xù)性方法更簡單(這是丘成桐使用的方法)；而且在討論卡拉比猜想時(shí)，他使用了連續(xù)性方法，而不是變分法。

后人常常將奧賓與卡拉比猜想聯(lián)系在一起討論；奧賓本人則更傾向于將他的這些工作與凱勒-愛因斯坦度量聯(lián)系起來，在他后來的文字中可以看到這一點(diǎn)。從這個(gè)角度，奧賓的上述工作又可以闡述為：在1970 年的論文中，奧賓首次研究了緊凱勒流形上凱勒-愛因斯坦度量存在性問題，并將其轉(zhuǎn)化成奧賓方程 的求解問題。在1976 年的論文中，奧賓證明了第一陳類為負(fù)的緊凱勒流形上存在凱勒-愛因斯坦度量。對于奧賓的工作，博規(guī)農(nóng)做了很好的解釋。

凱勒-愛因斯坦度量是里奇形式與凱勒形式成比例的度量，也就是要求復(fù)流形上的度量不僅是凱勒度量，而且也是愛因斯坦度量。其中愛因斯坦度量是里奇形式與度量形式成比例的度量，之所以稱為愛因斯坦度量，是為了紀(jì)念愛因斯坦，因?yàn)檫@個(gè)條件也相當(dāng)于說這個(gè)度量是真空愛因斯坦方程的一個(gè)解。允許愛因斯坦度量的黎曼流形稱作愛因斯坦流形；這類流形與很多重要論題有聯(lián)系，包括楊-米爾斯理論。在已知的愛因斯坦流形的例子中，非常好的一類就是凱勒的。

緊凱勒流形上凱勒-愛因斯坦度量存在性問題與卡拉比猜想有密切關(guān)系，奧賓、貝斯( A.L.Besse)、莫羅亞努(A.Moroianmu) 等人的著作都有專門章節(jié)論述，總的來說，有四個(gè)方面:

(1) 從二者提出問題的角度分析。凱勒-愛因斯坦度量存在性問題是：已知緊凱勒流形上存在凱勒-愛因斯坦度量的必要條件是第一陳類為負(fù)、零和正；那么這是否也是充分條件。換句話說就是，緊凱勒流形上是否存在凱勒愛因斯坦度量?？ɡ炔孪氲膯栴}是：已知緊凱勒流形上每一個(gè)( 1,1) 型成為其上某些凱勒度量里奇形式的必要條件是這些形式表示第一陳類；那么這是否也是充分條件。換句話說就是，緊凱勒流形上每一個(gè)表示第一陳類的形式是否都是其上某些凱勒度量的里奇形式。

(2) 從二者所等價(jià)的方程分析。凱勒-愛因斯坦度量存在性問題等價(jià)于求解奧賓方程，當(dāng)為負(fù)、零或正時(shí)，這個(gè)方程的解分別給出第一陳類為負(fù)、零和正的凱勒流形上的凱勒-愛因斯坦度量。特別的當(dāng)的時(shí)候，這個(gè)問題就是卡拉比猜想：即第一陳類為零的緊凱勒流形上，允許里奇平坦凱勒度量。后來卡拉比曾通過口頭交流，將猜想推廣成第一陳類是負(fù)定的且愛因斯坦度量具有符號(hào)-1(即) 。到丘成桐的時(shí)候，卡拉比猜想可以分為三種情況，即第一陳類為負(fù)、零或正。在這三種情況下，凱勒-愛因斯坦度量的存在性問題就等價(jià)于求解右邊為的復(fù)蒙日-安培方程。

(3) 從卡拉比、丘成桐和奧賓的論文分析中都可以看到有關(guān)凱勒愛因斯坦度量的論述?？ɡ仍凇秳P勒度量空間》一文中，實(shí)際上也隱含著猜想了凱勒流形上存在凱勒愛因斯坦度量，其中凱勒流形的第一陳類為負(fù)、零和正，并且它不允許任何全純向量場。丘成桐在《卡拉比猜想以及代數(shù)幾何中的一些新結(jié)果》一文中給出凱勒-愛因斯坦度量這個(gè)名稱以及對其的闡釋，在《關(guān)于緊凱勒流形的里奇曲率和復(fù)蒙日安培方程，Ⅰ》中，定理5就給出了第一陳類為負(fù)時(shí)的凱勒-愛因斯坦度量。奧賓在《黎曼度量和曲率》一文中就明確提到了愛因斯坦度量，該文第十節(jié)就是有關(guān)“愛因斯坦度量存在性的充分條件”。

(4) 從卡拉比、丘成桐和奧賓論文給出的結(jié)論分析。1976 年，丘成桐在給出卡拉比猜想完整證明的同時(shí)，也證明了第一陳類為負(fù)和零的情況下，緊凱勒流形上凱勒愛因斯坦度量的存在性。丘成桐在卡拉比猜想上的工作與卡拉比的工作一起被稱為卡-丘定理，這是一個(gè)有關(guān)卡拉比猜想的定理。丘成桐和奧賓在凱勒-愛因斯坦度量存在性上的工作與卡拉比的工作一起被稱為奧賓-卡-丘定理，這是有關(guān)凱勒-愛因斯坦度量存在性的定理；進(jìn)一步，第一陳類為零情況下的凱勒愛因斯坦度量被稱為卡丘度量，第一陳類為負(fù)情況下的凱勒-愛因斯坦度量稱為奧賓-卡-丘度量。

部分的因?yàn)閵W賓和丘成桐的這些工作，再次引發(fā)了對愛因斯坦流形的研究。1979 年9 月，在法國的埃斯帕利永就召開了關(guān)于愛因斯坦流形的討論會(huì)。

盡管卡拉比猜想與凱勒流形上凱勒-愛因斯坦度量存在性問題密切相關(guān)，但二者畢競是兩個(gè)獨(dú)立的問題。卡拉比猜想在1976 年由于丘成桐的工作，已告完全解決；而凱勒流形上凱勒-愛因斯坦度量存在性問題，當(dāng)時(shí)奧賓和丘成桐解決了第一陳類為負(fù)、丘成桐解決了第一陳類為零的情形，對于第一陳類為正的情形，至今仍未解決。不過對于數(shù)學(xué)和物理，第一陳類為正情形的重要性遠(yuǎn)遠(yuǎn)不及前兩種情形。后來，丘成桐曾提出一個(gè)穩(wěn)定性原則來研究這個(gè)問題，這個(gè)想法被稱為丘成桐猜想。對此丘成桐的學(xué)生們，包括田剛作了諸多努力，給出了一些有意義的結(jié)果。最近，在這個(gè)問題上，唐納森(S.K.Donaldson,1957~)和陳秀雄的又給出了一些進(jìn)展2。