[科普中國(guó)]-極小化序列

定義

變分學(xué)和最優(yōu)化的中心問(wèn)題是求定義在Banach空間某一子集D上的泛函的最小值點(diǎn)。下面介紹最小值點(diǎn)的逼近——極小化序列。

定義1 設(shè)E是實(shí)Banach空間， ， 是定義在D上的實(shí)泛函。若存在 ，使得

則稱(chēng) 為泛函 的極小化序列。

相關(guān)概念與命題命題1設(shè) 是一凸集， 是嚴(yán)格凸泛函，則至多存在一點(diǎn)，使

證明： 若在D中存在 ，使得

則 ，有

此與是最小值點(diǎn)矛盾。證畢1。

定理1 設(shè)E是實(shí)自反Banach空間，實(shí)泛函是G-可微、強(qiáng)制和嚴(yán)格凸的，則的任一極小化序列弱收斂于的唯一最小值點(diǎn)，此時(shí)最小值點(diǎn)當(dāng)然也是臨界點(diǎn)。

**證明：**首先由假設(shè)知，在整個(gè)空間E中有唯一的最小值點(diǎn)，且為的臨界點(diǎn)。

再證每一個(gè)極小化序列都是有界的：若不然，設(shè)無(wú)界，于是存在子列。由的強(qiáng)制性，存在及使得當(dāng)時(shí)，恒有因此有

此矛盾證明了的有界性。

然后，由有界，結(jié)合E自反知，存在及，使得再考慮到是的最小值點(diǎn)及的弱下半連續(xù)性得

所以由嚴(yán)格凸泛函最小值點(diǎn)的唯一性得，于是

最后證若不然，不妨設(shè)有子列則有

此與是的唯一最小值點(diǎn)矛盾。證畢1。