[科普中國(guó)]-狄利克雷原理

人物簡(jiǎn)介

約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet，勒熱納·狄利克雷是姓，1805年2月13日－1859年5月5日），德國(guó)數(shù)學(xué)家。他是解析數(shù)論的奠基者，也是現(xiàn)代函數(shù)概念的定義者。

狄利克雷16歲通過(guò)中學(xué)畢業(yè)考試后，父母希望他攻讀法律，但他已選定數(shù)學(xué)為其終身職業(yè)。當(dāng)時(shí)的德國(guó)數(shù)學(xué)界，除高斯一人名噪歐洲外，普遍水平較低；又因高斯不喜好教學(xué)，于是狄利克雷決定到數(shù)學(xué)中心巴黎上大學(xué)，那里有一批燦如明星的數(shù)學(xué)家，諸如P．S．拉普拉斯(Laplace)、A．勒讓德(Legendre)、J．傅里葉(Fourier)、S．泊松(Poisson)、S．拉克魯瓦(Lacroix)、J．B．比奧(Biot)等等。

1822年5月，狄利克雷到達(dá)巴黎，選定在法蘭西學(xué)院和巴黎理學(xué)院攻讀；其間因患輕度天花影響了聽(tīng)課，幸好時(shí)間不長(zhǎng)。1823年夏，他被選中擔(dān)任M．法伊(Fay)將軍的孩子們的家庭教師。法伊是拿破侖時(shí)代的英雄，時(shí)任國(guó)民議會(huì)反對(duì)派的領(lǐng)袖。狄利克雷擔(dān)任此職，不僅收入頗豐，而且受到視如家人的善待，還結(jié)識(shí)了許多法國(guó)知識(shí)界的名流。其中，他對(duì)數(shù)學(xué)家傅里葉尤為尊敬，受其在三角級(jí)數(shù)和數(shù)學(xué)物理方面工作的影響頗深。另一方面，狄利克雷從未放棄對(duì)高斯1801年出版的數(shù)論名著《算術(shù)研究》(Dispui-sitiones arithmeticae)的鉆研。據(jù)傳他即使在旅途中也總是隨身攜帶此書(shū)，形影不離。當(dāng)時(shí)還沒(méi)有其他數(shù)學(xué)家能完全理解高斯的這部書(shū)，狄利克雷是第一位真正掌握其精髓的人。可以說(shuō)，高斯和傅里葉是對(duì)狄利克雷學(xué)術(shù)研究影響最大的兩位數(shù)學(xué)前輩。

1825年，狄利克雷向法國(guó)科學(xué)院提交他的第一篇數(shù)學(xué)論文，題為“某些五次不定方程的不可解”(Mémoire sur L'impossibilite de quelques équations indéterminées du cinquieme degré)。他利用代數(shù)數(shù)論方法討論形如x5+y5=A·z5的方程。幾周后，勒讓德利用該文中的方法證明了

當(dāng)n=5時(shí)無(wú)整數(shù)解；狄利克雷本人不久也獨(dú)立證明出同一結(jié)論。(后來(lái)狄利克雷再次研究費(fèi)馬大定理時(shí)，證明n=14時(shí)該方程無(wú)整數(shù)解。)

發(fā)展歷史由于狄利克雷的積分是從下面界定的，所以保證了最小的存在。 這個(gè)最終的實(shí)現(xiàn)是由黎曼（創(chuàng)造了狄利克雷的原則）和其他人所理解的，直到Weierstrass給出了一個(gè)功能達(dá)不到最小值的例子。希爾伯特后來(lái)證明了黎曼利用狄里克雷的原則。1

狄利克雷原理最早出現(xiàn)在英國(guó)數(shù)學(xué)家格林關(guān)于位勢(shì)理論的著作中，稍后又為高斯和狄利克雷獨(dú)立提出。狄利克雷在一次講演中，對(duì)函數(shù)本身及其諸偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)的函數(shù)類(lèi)的狄利克雷原理，給出十分確切和完全的敘述，并在1876年由他的一個(gè)學(xué)生發(fā)表。黎曼首先以狄利克雷的名字命名這一原理并應(yīng)用于復(fù)變函數(shù)，從而使其得到廣泛的關(guān)注。然而狄利克雷給出的證明是不完善的。1870年，外爾斯特拉斯以其特有的嚴(yán)格化精神批評(píng)了狄利克雷原理在邏輯上的缺陷。他指出：連續(xù)函數(shù)的下界存在且可達(dá)到，但此性質(zhì)不能隨意推廣到自變量本身為函數(shù)的情形，即在給定邊界條件下使積分極小化的函數(shù)未必存在。他的非議迫使數(shù)學(xué)家們放棄狄利克雷原理，但事實(shí)上數(shù)學(xué)物理中的許多結(jié)果都依賴(lài)于此原理而建立。

在19世紀(jì)末20世紀(jì)初，希爾伯特采取完全不同的思路來(lái)處理這一難題。他通過(guò)邊界條件的光滑化來(lái)保證極小函數(shù)的存在，從而恢復(fù)了狄利克雷原理的功效。他的工作不僅“挽救”了有廣泛應(yīng)用價(jià)值的狄利克雷原理，也豐富了變分法的經(jīng)典理論。2

狄利克雷原理的進(jìn)一步發(fā)展由原蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家索伯列夫完成，他對(duì)于多重調(diào)和方程，包括區(qū)域的邊界由不同維數(shù)流形組成的情形進(jìn)行了敘述，并證明了狄利克雷原理的正確性。

公式表述狄利克雷原理是指將拉普拉斯方程狄利克雷問(wèn)題化為變分問(wèn)題的方法。使：

在函數(shù)類(lèi)在上，中達(dá)到極小的極值函數(shù)就是拉普拉斯方程狄利克雷問(wèn)題：

的解。因此，求解拉普拉斯方程狄利克雷問(wèn)題可化成變分問(wèn)題，這就是狄利克雷原理。積分D(u)稱(chēng)為狄利克雷積分。

狄利克雷原理告訴我們，如果函數(shù)u(x)是泊松方程在定義域R上滿(mǎn)足邊界條件：的解，那么u是狄利克雷能量的最小值：

在v中，v = g在的所有兩個(gè)可微分的函數(shù)中（前提是至少存在一個(gè)使Dirichlet積分有限的函數(shù)）。這個(gè)概念以德國(guó)數(shù)學(xué)家彼得·古斯塔夫·勒杰（Dijichlet）命名。3

組合數(shù)學(xué)中的抽屜原理抽屜原理又叫鴿籠原理，它是組合數(shù)學(xué)中判斷存在性的一個(gè)重要原理。抽屜原理最先由德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷運(yùn)用于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，所以也稱(chēng)之為狄利克雷原理。抽屜原理的表述雖然比較簡(jiǎn)單，很容易理解，但因其變化多，應(yīng)用廣，常常被用于解答各級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題。利用抽屜原理，可以作出許多有趣的推理和判斷。

抽屜原理的表述：

抽屜原理I：把n+1個(gè)蘋(píng)果放到n個(gè)抽屜里，則至少有一個(gè)抽屜中有2個(gè)或2個(gè)以上的蘋(píng)果。

抽屜原理II：把mxn+r個(gè)蘋(píng)果放到n個(gè)抽屜里，則至少有一個(gè)抽屜中有不少于m+l個(gè)蘋(píng)果。

當(dāng)m=l、r=l時(shí)抽屜原理II就變?yōu)槌閷显鞩，因此抽屜原理I是抽屜原理II的特例。

抽屜原理的特點(diǎn)是物體多、抽屜少，而物體個(gè)數(shù)比抽屜個(gè)數(shù)多1是利用抽屜原理解題時(shí)最常見(jiàn)的情況。抽屜原理用反證法很容易給出證明。

在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常利用抽屜原理的另一種提法來(lái)探索數(shù)量關(guān)系。

變形I：在n個(gè)抽屜中放入k個(gè)蘋(píng)果，要至少在一個(gè)抽屜中有不少于2個(gè)蘋(píng)果，則k的最小值是n+l,即至少需n+l個(gè)蘋(píng)果。

變形II：在n個(gè)抽屜中放入k個(gè)蘋(píng)果，要至少在一個(gè)抽屜中有不少于m+l個(gè)蘋(píng)果，則k的最小值是mx:,+l,即至少需個(gè)蘋(píng)果。4