[科普中國(guó)]-概率母函數(shù)

在概率論里，概率母函數(shù)是指該隨機(jī)變量的概率質(zhì)量函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表達(dá)式。它也是研究隨機(jī)變量分布律的一個(gè)重要的分析工具。

定義單變量情形如果X是在非負(fù)整數(shù)域{0，1， ...}上取值的離散隨機(jī)變量，那么X的概率母函數(shù)定義為 ：

其中p是X的概率質(zhì)量函數(shù)。1

多變量情形如果X= (X1，...，Xd )是在d-非負(fù)整數(shù)格{0，1， ...}上取值的離散隨機(jī)變量， 那么X的概率母函數(shù)定義為：

其中p是X的概率質(zhì)量函數(shù)。1

性質(zhì)冪級(jí)數(shù)概率母函數(shù)服從冪級(jí)數(shù)的所有非負(fù)系數(shù)的規(guī)則。特別地， ，其中 ，因?yàn)楦怕时仨毧偤蜑?。所以任何概率母函數(shù)的收斂半徑必須至少為1，通過(guò)具有非負(fù)系數(shù)的冪級(jí)數(shù)的Abel定理來(lái)證明。1

概率和期望以下性質(zhì)是與X有關(guān)的各種基本量的推導(dǎo)：

1、X的概率質(zhì)量函數(shù)通過(guò)取G的導(dǎo)數(shù)來(lái)恢復(fù)，

2、概率密度函數(shù)的歸一化可以用母函數(shù)來(lái)表示：

該預(yù)期的X由下式給出：

所以，X的方差由下式給出1：

獨(dú)立隨機(jī)變量的函數(shù)概率母函數(shù)對(duì)于處理獨(dú)立隨機(jī)變量的函數(shù)特別有用。例如：

如果X1，X2，...，Xn是一系列獨(dú)立的（不一定是相同分布的）隨機(jī)變量，并且 其中ai是常數(shù)，則概率母函數(shù)由下式給出：

例如，如果

那么，概率母函數(shù)GSN（z）由下式給出：

也就是說(shuō)，兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量S=X1-X2的差的概率母函數(shù)是1：

示例1.一個(gè)常數(shù)隨機(jī)變量（即 ）的概率母函數(shù)是：

2.一個(gè)的概率母函數(shù)二項(xiàng)式隨機(jī)變量，在成功的次數(shù)?試驗(yàn)中，概率p是每次試驗(yàn)成功的概率，概率母函數(shù)是：

注意，這是具有參數(shù)p的伯努利隨機(jī)變量的概率母函數(shù)的n倍乘積。

所以，擲硬幣時(shí)間的概率母函數(shù)是：

3.一個(gè)概率母函數(shù)的負(fù)二項(xiàng)隨機(jī)變量在{0，1，2 ...}中，每次試驗(yàn)的成功概率p，概率母函數(shù)是2：

相關(guān)概念概率母函數(shù)是一個(gè)的例子母函數(shù)的序列組成：也見(jiàn)形式冪級(jí)數(shù)。這與概率質(zhì)量函數(shù)的z變換等效，有時(shí)稱(chēng)為z變換。

其他隨機(jī)變量的母函數(shù)包括矩母函數(shù)、特征函數(shù)和累積量母函數(shù)。2

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)