[科普中國]-預(yù)解核

預(yù)解核(resolvent kernel)是用來給出積分方程解的一種積分表示，利用它可以研究積分方程的有關(guān)性質(zhì)。

基本介紹預(yù)解核(resolvent kernel)是用來給出積分方程解的一種積分表示，利用它可以研究積分方程的有關(guān)性質(zhì)。設(shè) 是積分方程

的連續(xù)核，則 由遞推公式

產(chǎn)生的 稱為 的n次疊核，它滿足公式

當(dāng)

時，級數(shù)

在 上絕對且一致收斂，其和記為

此級數(shù)稱為諾伊曼級數(shù)， 稱為積分方程的預(yù)解核。預(yù)解核是λ全平面上的半純函數(shù)，它在任一有界域內(nèi)只可能有有限個極點(diǎn)，每個特征值就是預(yù)解核的極點(diǎn)。利用預(yù)解核，積分方程的解可表示為

這個結(jié)果在L2空間也同樣成立，即設(shè) 和 都是平方可積函數(shù)，且

記

和

則近似解序列

在 內(nèi)絕對且一致收斂，其極限函數(shù)給出方程的惟一解1。

預(yù)解方程方程

稱為第二種弗雷德霍姆(Fredholm)方程，其中 是常數(shù)。

定理 **(預(yù)解方程)**弗雷德霍姆方程(1)的預(yù)解核滿足方程

及

式(2) 與(3)稱為方程(1)的預(yù)解方程。對給定的 如果存在滿足(2) 與(3)式的預(yù)解核 ，則稱 為核 的正則值2。

預(yù)解核的構(gòu)造設(shè) 為X 上的一個核。一個函數(shù) 稱為V-上屬(V-dominant)，如果對所有 若 在 上成立，必有 若常數(shù)1是 上屬，則稱V滿足完全的極大值原理3。

命題1 若 為X 上的子Markov 預(yù)解核而V為 的位勢核，那么每一個 上中位函數(shù)是V上屬。特別，V滿足完全的極大值原理。

引理設(shè) 又設(shè)u為V上屬函數(shù)使得 且 那么 。

推論 對每個 線性算子 是一個單映。若 且 則 。

命題對每個 是一個代數(shù)同構(gòu)。

命題對每個 線性映射 是正的且 對所有

命題 是X上的一個子Markov 預(yù)解核且V為 的位勢核。

定理 設(shè)V為X上的有界核。那么X 上存在一個子Markov 預(yù)解核使得的充要條件是V滿足完全的極大值原理。這預(yù)解核是由V唯一確定的。

定理設(shè)且則下述結(jié)論成立：

1. 存在唯一的子Markov 預(yù)解核使得且是關(guān)于P的位勢核。

2. 對每個嚴(yán)格的。.

3. 是嚴(yán)格的。

命題設(shè)用F表示這樣的全體構(gòu)成的集：與存在使得那么F是增加的濾子且。

命題設(shè)為關(guān)于p的位勢核。那末，對每個，下面命題等價：

(1)

(2) 存在使得且。

推論設(shè)且使得又設(shè)V為關(guān)于p的位勢核。那么，對每個存在中的序列使得增加收斂于且對每個為A 的緊子集3。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財經(jīng)大學(xué)