[科普中國]-同倫算子

概念

同倫算子(homotopy operator)是具有同倫性質(zhì)的線性變換。設(shè)f1，f2是兩個微分流形M，N之間的C∞映射，則有誘導(dǎo)映射：1

δfi：Ek(N)→Ek(M) (i=1，2)，

k為非負(fù)整數(shù)，對于這些誘導(dǎo)映射，若存在一組線性變換hk：Ek(N)→Ek-1(M)，使得

則稱這組線性變換{hk}為f1與f2的同倫算子?？梢钥闯鳊嫾尤R引理中的{hk}也是同倫算子。

同倫設(shè)f、g是拓?fù)淇臻gX到Y(jié)的兩個連續(xù)映射，若存在連續(xù)映射H：X×I→Y使得：

H(x，0)=f(x)

H(x，1)=gx∈X

則稱f與g同倫，記為f?g：X→Y或f?g，映射H稱為f與g之間的一個同倫。f與g的同倫H也可理解為單參數(shù)映射族{ht}t∈I，ht連續(xù)地依賴于t且h0=f，h1=g，即當(dāng)參數(shù)t從0變到1時，映射f連續(xù)地形變?yōu)間。與常值映射同倫的映射稱為零倫的。若以C[X，Y]表示X到Y(jié)的一切連續(xù)映射之集，則同倫關(guān)系?是C[X，Y]上等價關(guān)系，每個等價類稱為一個同倫類，同倫類的全體所成集記為[X，Y]。設(shè)Y是R的子空間，f，g：X→Y是連續(xù)映射，若對每個x∈X，點(diǎn)f(x)與g(x)可由Y中線段連結(jié)，則f?g：X→Y，若Y是R中凸集，任何映射f：X→Y都零倫，即[X，Y]僅含一個元素。設(shè)X，Y與Z均為拓?fù)淇臻g，若f?f：X→Y，g?g： Y→Z，則gf?gf： X→Z。

設(shè)X，Y為拓?fù)淇臻g，若存在連續(xù)映射f：X→Y和g：Y→X，使得gf?Idx且f·g?idr。這Id、id均表示恒同映射，則稱f為同倫等價，g為f的同倫逆，而將X與Y稱為具有相同的倫型，或簡稱同倫的，記作X?Y。與單點(diǎn)空間同倫的空間稱為可縮的，或者存在x0∈X，使得常值映射C：X→X。x1→x0與映射idx同倫，空間X可縮。R和R中凸集均為可縮空間。同倫關(guān)系是拓?fù)淇臻g之間的等價關(guān)系。X可縮等價于下列幾條中任意一條：(1)idx?0，即恒同映射idx零倫。(2) 對任意空間Y，映射f：X→Y，有f?0。(3)對任意空間Z和連續(xù)映射g：Z→X，g?0。

設(shè)A是空間X的子空間，i：A→X表包含映射，若存在連續(xù)映射r：X→A，使得r|A=idA(或r·i=idA)，則r稱為X到A的保核收縮，A稱為X的收縮核。若有保核收縮r：X→A滿足i·ridx：X→X，則H稱為X到A的形變收縮，A稱為X的形變收縮核，若同倫H還滿足對任意x∈A和t∈I有H(x，t)=x，則H稱為X到A的一個強(qiáng)形變收縮，A稱為X的強(qiáng)形變收縮核。強(qiáng)形變收縮是形變收縮，且若A是X的形變收縮核，則內(nèi)射i：A→X是同倫等價。

兩個拓?fù)淇臻gX和Y同倫等價的充要條件是：存在空間Z，使得X與Y分別同胚于Z的兩個強(qiáng)形變收縮核。

倫型相同的拓?fù)淇臻g所共有的性質(zhì)稱為同倫不變量。由于同胚的空間必同倫，故同倫不變量一定是拓?fù)洳蛔兞?。代?shù)拓?fù)鋵W(xué)主要研究空間的同倫。

設(shè)A為空間X的子空間，序偶 (X，A) 稱為空間偶，連續(xù)映射f： X→Y，把A映到Y(jié)的子空間B內(nèi)，則記f：(X，A)→(Y，B)。若有連續(xù)映射f：(X，A)→(Y，B)，g：(Y，B)→(X，A)使得g·f=idx，f·g=idY，則f為空間偶的同胚。同樣有偶的同倫的概念。若有偶的同倫：f?g：(X，A)→(Y，B)滿足：對任意t∈I，x∈A有H(x，t)=f(x)=g(x)，稱f和g相對于A同倫，記作：

當(dāng)A為空集?時，相對同倫就是一般同倫。設(shè)A?X，則A是X的強(qiáng)形變收縮核的充要條件是：存在收縮映射(保核收縮)r：X→A使得ir?idx：X→XrelA，其中i：A→X為內(nèi)射。

線性變換未知數(shù)的線性變換，是一組(m個)未知數(shù)x1，x2，…，xm到另一組(n個)未知數(shù)y1，y2，…，yn的一個變換，使得新未知數(shù)用原未知數(shù)線性地表出：

其中系數(shù)aij(i=1，2，…n，j=1，2，…，m)為常數(shù)。例如，歐氏空間中的旋轉(zhuǎn)，是一種線性變換。

更一般地，設(shè)L是線性空間的一個把向量X1、X2分別變換為向量Y1，Y2的變換，若在變換L下，線性組合a1X1+a2X2變換為a1Y1+a2Y2，則稱變換L為線性變換。2

微分流形設(shè)M是仿緊豪斯道夫 (Hau-sdorff)空間，且是拓?fù)淞餍危QA= {(Uα，Фα)|α∈P}是它的地圖，如果{Uα|α∈P}是M的開覆蓋，Фα是從Uα到n維歐氏空間R的某開集上的同胚。(Uα，Φα)稱為坐標(biāo)卡。如果兩個坐標(biāo)卡 (Uα，Фα)，(Uβ，Φβ) 滿足Uα∩Uβ≠Φ，則稱Φβ·Ф-1α：Φα(Uα∩Uβ) →Φβ(Uα∩Uβ) 和Φα·Φ-1β： Φβ(Uα∩Uβ) →Фα(Uα∩Uβ) 為Uα∩Uβ上的坐標(biāo)變換。如果A的所有坐標(biāo)變換都是Cr可微的，則稱A為一個Cr地圖，其中1≤r≤∞。r也可等于ω，此時A稱為解析地圖。拓?fù)淞餍蜯的坐標(biāo)卡 (U，Φ) 稱為與A是Cr相容的，如果任意(Uα，Φα) ∈A，坐標(biāo)變換Φ·Φα-1Φα·Φ-1均C可微。拓?fù)淞餍蜯的Cr地圖A稱為最大的，如果它包含M的所有與之Cr相容的坐標(biāo)卡。M上的最大Cr地圖A稱為M的Cr微分結(jié)構(gòu)。(M，A)稱為Cr微分流形，或簡稱為Cr流形。當(dāng)r=∞時，C∞微分結(jié)構(gòu)也稱為光滑結(jié)構(gòu)，C∞流形也稱為光滑流形。r=ω時，Cw結(jié)構(gòu)也稱為解析結(jié)構(gòu)，Cw流形稱為解析流形。Cr流形(M，A)有時也簡記為M。

從直觀上看，拓?fù)淞餍问蔷植繗W氏空間，局部之間用同胚映射(坐標(biāo)變換)粘貼在一起。n維Cr流形，不僅局部同胚于n維歐氏空間，而且局部之間是用Cr光滑、且其逆也Cr光滑的坐標(biāo)變換粘貼在一起。

兩個Cr流形M和N，f：M→N是連續(xù)映射，且任一點(diǎn)P∈M，有包含P點(diǎn)的M中的坐標(biāo)卡(U，Φ)以及包含f(P)的N中的坐標(biāo)卡(V，φ)，使得f(U)?V，同時，映射φ°f°Φ-1：Φ(U)→φ(V)是Cr光滑的(1≤r≤∞或r=ω)，則稱f是Cr映射。C∞映射也稱為光滑映射，Cw映射也稱為解析映射。其中φ。f。φ-1稱為f的局部表示。

Cr流形M和N之間的同胚f：M→N，如果f和f-1均是Cr映射，則稱f是Cr微分同胚。

(M，A)是Cr微分流形，A是Cr結(jié)構(gòu)，若1≤r≤s≤∞，則A中包含M的Cs結(jié)構(gòu)A′。且此Cs微分結(jié)構(gòu)A′在相差一個Cs微分同胚的意義下是唯一的，此時我們稱A與A′相容。此結(jié)果歸功于惠特尼。同樣，一個C結(jié)構(gòu)也允許相容的實(shí)解析結(jié)構(gòu)。這就是說當(dāng)1≤r