[科普中國]-定向配邊類

定向配邊類(oriented cobordism class)是流形的一種等價類，對于兩個光滑緊定向n維流形M與M′，若存在一個光滑緊的帶邊的定向流形X，使得?X及其誘導(dǎo)定向在保持定向的同胚之下同胚于M與(-M′)的無交并，則稱M與M′屬于同一個定向配邊類。定向配邊類的這種關(guān)系是自反的、對稱的和傳遞的，因此是一個等價關(guān)系，在這種等價關(guān)系之下的等價類之集記為Ωn，對Ωn中的任意兩個元素{M}，{M′}，用無交并作為群運算，則Ωn構(gòu)成一個阿貝爾群，這個群的零元就是空流形的配邊類。例如，可以列出定向配邊類群如下：Ω0?Z，Ω1=0，Ω2=0，Ω3=0，Ω4?Z，Ω5=Z/2，Ω6=0，Ω7=0，Ω8?Z⊕Z，Ω9=(Z/2)⊕(Z/2)，Ω10?Z/2，Ω11?Z/21。

基本介紹定向配邊理論的研究對象是所有定向流形的集合，其中所有流形都有兩種定向。如果一種用 表示，另一種則用 表示，它們在這個集合中代表不同的元素。

兩個 維閉流形 稱為定向配邊，如果存在一個, 維可定向有邊緣流形X，使得

這樣，所有定向流形在這種等價關(guān)系之下形成等價類。定向配邊等價類的集合同樣可引入加法構(gòu)成阿貝爾群 ，引進乘法構(gòu)成分次反交換代數(shù) ，稱為定向配邊環(huán)。

經(jīng)過托姆、米爾諾(Milnor，John Willard，1931-) 和沃爾的研究， 的結(jié)構(gòu)也完全決定。

相關(guān)理論托姆基本定理 其中 為旋轉(zhuǎn)群的托姆譜。

結(jié)構(gòu)定理 是Q上多項式環(huán)，

即每維各有一個生成元，這生成元為復(fù)射影空間的定向配邊類。

1960年，米爾諾證明沒有p分量，p為任意奇素數(shù)。同年，沃爾證明的2分量中不含4階元素。

設(shè)為中所有撓元構(gòu)成的理想，則為上多面‘式環(huán)，以為生成元，其中可取為復(fù)維非奇異代數(shù)簇。

定向配邊不變量兩個定向閉流形定向配邊當(dāng)且僅當(dāng)其所有的施蒂費爾-惠特尼示性數(shù)和龐特里亞金示性數(shù)對應(yīng)相等。

的具體結(jié)構(gòu)如下：

時，所有均不等于0。

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)