[科普中國]-拉普拉斯-貝爾特拉米算子

在微分幾何中，拉普拉斯算子可以推廣為定義在曲面，或更一般地黎曼流形與偽黎曼流形上，函數(shù)的算子。這個更一般的算子叫做拉普拉斯－貝爾特拉米算子（Laplace–Beltrami operator）。與拉普拉斯算子一樣，拉普拉斯–貝爾特拉米算子定義為梯度的散度。這個算子作為共變導(dǎo)數(shù)的散度，可以延拓到張量上的算子?；蛘?，利用散度與外導(dǎo)數(shù)，這個算子可以推廣到微分形式上的算子，所得的算子稱為拉普拉斯－德拉姆算子（Laplace–de Rham operator）。1

定義就像拉普拉斯算子一樣，定義拉普拉斯－貝爾特拉米算子為梯度的散度。為了寫出這個算子的一個公式，首先需寫出流形上的散度與梯度。1

設(shè)g表示流形上的（偽）-度量張量，我們發(fā)現(xiàn)在局部坐標(biāo)中體積形式由

給出，這里 是局部坐標(biāo)系基向量

的對偶基1-形式，而 是楔積。這里 是度量張量行列式的絕對值。流形上一個向量場X的散度可以定義為

這里 是沿著向量場X的李導(dǎo)數(shù)。在局部坐標(biāo)中，我們得到

這里（下面同樣如此）使用了愛因斯坦求和約定，所以上式其實是一個關(guān)于i的和式。一個數(shù)量函數(shù)f的梯度利用流形上內(nèi)積可定義為

對位于流形在x點的切空間中所有向量 成立。這里df是函數(shù)f的外導(dǎo)數(shù)；它是變量 的一個函數(shù)。在局部坐標(biāo)中有

綜上，對一個數(shù)量函數(shù)f的拉普拉斯–貝爾特拉米算子在局部坐標(biāo)中公式為

這里 是度量張量 g之逆的分量，所以 ，這里 為克羅內(nèi)克函數(shù)。

注意到如上定義中，只對數(shù)量函數(shù) 有效。我們欲將對函數(shù)的拉普拉斯算子，延拓到微分形式上；為此，我們必須回到拉普拉斯–德拉姆算子，將在下一節(jié)定義?？梢宰C明拉普拉斯–貝爾特拉米算子在歐幾里得空間退化通常的拉普拉斯算子，利用乘積法則與鏈?zhǔn)椒▌t將其重寫為

當(dāng)|g|=1，比如笛卡兒坐標(biāo)下的歐幾里得空間，容易得到

這就是通常的拉普拉斯算子。利用符號為 (+++-) 的閔可夫斯基度量，得到達(dá)朗貝爾算子。在局部參數(shù)化 中，拉普拉斯–貝爾特拉米算子利用度量張量與克里斯托費爾符號可表示如下：

注意到通過使用球坐標(biāo)與圓柱坐標(biāo)的度量張量，我們類似地可重新得到拉普拉斯算子在球坐標(biāo)與圓柱坐標(biāo)下的表達(dá)式。拉普拉斯–貝爾特拉米算子不僅在彎曲空間中存在，而且在曲線坐標(biāo)系下的通常平坦空間中也存在。

另外注意到外導(dǎo)數(shù)d與 -div伴隨：

（證明）

這里最后一個等式利用了斯托克斯定理。另外注意拉普拉斯–貝爾特拉米算子是負(fù)的且對稱：

對函數(shù)f與h。因此，許多作者定義拉普拉斯–貝爾特拉米算子時添一個減號，將其變成正的。

利用共變導(dǎo)數(shù)

拉普拉斯–貝爾特拉米算子也可利用與列維-奇維塔聯(lián)絡(luò)相伴的迭代共變導(dǎo)數(shù)的跡寫出來。從這個觀點來看，設(shè)Xi是切向量場的一個基（不必由坐標(biāo)系誘導(dǎo)）。則一個函數(shù)f的黑塞矩陣是一個 2-張量，分量由

給出。容易看出有張量性變換，因為對每個變量Xi與Xj都是線性的。則拉普拉斯–貝爾特拉米算子是黑塞矩陣關(guān)于度量的跡：

在抽象指標(biāo)記號中，此算子經(jīng)常寫成

需要理解清楚的是這個跡其實就是黑塞張量的跡。

拉普拉斯－德拉姆算子定義更一般地，我們可以在微分流形的外代數(shù)上定義一個拉普拉斯微分算子。在黎曼流形上它是一個橢圓型算子，而在洛倫茲流形上是雙曲型的。拉普拉斯–德拉姆算子定義為

這里 d 是外導(dǎo)數(shù)而 δ 是余微分。當(dāng)作用在數(shù)量函數(shù)上，余微分可以定義為 δ = ?，這里* 是霍奇星算子；更一般地，余微分可能包含與所作用的k-形式的階數(shù)有關(guān)的一個符號。

可以證明拉普拉斯–德拉姆算子作用在數(shù)量函數(shù)f上時與前面的拉普拉斯–貝爾特拉米算子定義相同；細(xì)節(jié)參見證明。注意拉普拉斯–德拉姆算子事實上是負(fù)拉普拉斯–貝爾特拉米算子；這個符號來自定義余微分的習(xí)慣。不幸的是，兩者都用 Δ 表示，經(jīng)常成為混亂之源。

性質(zhì)給定數(shù)量函數(shù)f與h，以及一個實數(shù)a，拉普拉斯–德拉姆算子有如下性質(zhì)：

（證明）

張量上的拉普拉斯算子利用與列維-奇維塔聯(lián)絡(luò)相伴的共變導(dǎo)數(shù)，拉普拉斯–貝爾特拉米算子可推廣到偽黎曼流形上任意張量。這個推廣的算子可以作用在反對稱張量上。但所得的算子與拉普拉斯–德拉姆算子給出的不同：兩者通過外森比克恒等式相關(guān)。

例子拉普拉斯–貝爾特拉米算子許多特例可以明白地寫出來。

球面拉普拉斯算子

球面拉普拉斯算子是帶截面曲率為 1 的典范度量n-1 維球面上的拉普拉斯–貝爾特拉米算子。通常將其視為等距嵌入R中，作為以原點為中心的單位球面。則對S上一個函數(shù)f，其球面拉普拉斯算子定義為

這里f(x/|x|) 是函數(shù)f次數(shù)為零的齊次延拓到R，而 Δ 是周圍歐幾里得空間的拉普拉斯算子。具體地，這由歐幾里得拉普拉斯算子在球極坐標(biāo)下熟知的公式所蘊含：

更一般地，利用法叢可進(jìn)行類似的技巧，定義任何黎曼流形作為等距嵌入歐幾里得空間中的超平面上的拉普拉斯–貝爾特拉米算子。

我們也可以給出球面上拉普拉斯–貝爾特拉米算子在法坐標(biāo)系中一個內(nèi)蘊描述。設(shè) (t,ξ) 是球面上關(guān)于球面上特定點p（北極）的球坐標(biāo)，這就是關(guān)于p的測地極坐標(biāo)。這里t表示從p出發(fā)沿著單位速度測地線的緯度，ξ是表示S中測地線的方向的一個參數(shù)。則球面拉普拉斯算子具有如下形式

這里是通常n- 1 球面上的拉普拉斯算子。

相關(guān)條目微分幾何中的拉普拉斯算子（Laplacian operators in differential geometry）

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王沛 - 副教授、副研究員 - 中國科學(xué)院工程熱物理研究所