[科普中國(guó)]-概率度量空間

預(yù)備知識(shí)t-范數(shù)

已知 ，如果對(duì) 有：

（1） ；

（2） ；

（3） 當(dāng) 時(shí)；

（4） ；

此時(shí)稱 為t-范數(shù)。1

常用三角范數(shù)（1） ；

（2） ；

（3） ；

（4） ；

（5） ；

（6） 。1

定義度量空間的概念首先EhM.Frechet于1906年引入。這一框架的特點(diǎn)在于對(duì)空間中任何兩點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)于一非負(fù)實(shí)勢(shì)，并稱這一數(shù)為該兩點(diǎn)的距離。毫無(wú)疑問(wèn)，這種結(jié)構(gòu)對(duì)許多問(wèn)題來(lái)說(shuō)是最為自然和最為適合的。但是，由于自然界許多量之間具有隨機(jī)性。例如，在測(cè)量中存在隨機(jī)誤差，又如在量子力學(xué)中，基本粒子本身可以看成一隨機(jī)變量，它們之間的距離就不能用一個(gè)確定的實(shí)數(shù)描述。因此，在許多情形，用一個(gè)統(tǒng)計(jì)量或用概率描述集合內(nèi)兩點(diǎn)問(wèn)的距離，比用一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)更符合客觀實(shí)際。正是基于這種思想，早在四十年代K.Meager在他的工作中提出概率度量空間的概念。在Meager的理論中，就是用一個(gè)分布函數(shù)表示空間中兩點(diǎn)的距離。2

概率度量空間（probabilistic metric space，簡(jiǎn)記為PM-空間），亦稱門杰概率度量空間，它是度量空間的一種重要推廣，是指度量空間把兩點(diǎn)間距離用一個(gè)統(tǒng)計(jì)量描述的一種空間。通常的度量取值于非負(fù)實(shí)數(shù)集，而概率度量取值于分布函數(shù)集。

1942年，K.Menger提出PM-空間以來(lái)，一直進(jìn)展很慢，直到20世紀(jì)60年代，B.Schwweizer、A.sklar等研究了其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，才使得這一理論有了較快的發(fā)展，但目前仍有大量的問(wèn)題有待研究。1

PM空間記 ， 表示一切左連續(xù)的分布函數(shù)集合， 表示 的子集合 表示如下的特殊的分布函數(shù)，即： 。

如果 （記 ），且滿足條件：對(duì) ，有：

（1） 當(dāng)且僅當(dāng) ；

（2） ；

（3） ；

（4）若 ，則 。

稱有序?qū)?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/Ioqc95YWOJ5nByT2WW63EfOb6dpqgS26OvCb.jpg" alt="" /> 為概率度量空間。

注意1：其中 可理解為 之間的距離小于 的概率。

注意2：若 為度量空間，定義 ，則 滿足上述（1）~（4）條件。1

PN空間如果 是實(shí)賦范線性空間， 滿足（記 ，）:

（1） 當(dāng)且僅當(dāng) ；

（2） ；

（3） ；

（4）若 ，則 。

則稱 為概率線性賦范度量空間，記為PN空間。

注意：令 ，易得概率線性賦范度量空間為概率度量空間的特例。1

M-PM空間已知三元組 ，如果滿足：

（1） 為一 PM空間 ；

（2） 為一個(gè) t-范數(shù)（三角范數(shù)），滿足 ；

則稱三元組 為 Menger 概率度量空間，記作M-PM空間。1

拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)PM空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)命題1：設(shè) 為概率度量空間，定義 ，則 d 是 E 上的度量，故 是度量空間。

命題2：設(shè) 為概率度量空間，且 取值于 ，定義 ， ，則最任意給定的 ， 為關(guān)于 的減函數(shù)，且有 。

命題3：設(shè) 為概率度量空間，還滿足條件 ，當(dāng) ， 時(shí)，有 ，則有：

（1）對(duì) 是偽度量；

（2）對(duì)每一 ，E中有鄰域系， ，其中 ，所導(dǎo)出的拓?fù)?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/14txYPIA3EyyRAwd44vgFEMgo4wbwpyJiV5W.jpg" alt="" /> 與 中由鄰域系 所導(dǎo)出的拓?fù)涫且恢碌?，其?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/kKVmjSkbrEVR9jrd6z4u35m6v7meArJMJ6NK.jpg" alt="" /> 。1

M-PM空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè) 為M-PM空間，則：

（1）當(dāng) 取值于 時(shí)，按 為一度量空間；

（2）當(dāng) t-范數(shù) 滿足 時(shí)， 可度量化，且 為 E 上度量，其拓?fù)淇捎舌徲蛳?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/5K7Au0pOncZGnrGWdrGnJNB8DEuCPNDivA1E.jpg" alt="" /> 產(chǎn)生。1

不動(dòng)點(diǎn)定理不動(dòng)點(diǎn)定義設(shè) 為完備的 M-PM 空間， 為壓縮映射，即對(duì) ，有：

如果有 ，則稱 為 的不動(dòng)點(diǎn)。1

定理1概率度量空間中每一個(gè)壓縮映射，至多有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。1

定理2設(shè) 為完備的 M-PM 空間， 滿足 ，且 為壓縮映射，則下列兩個(gè)結(jié)論必具其一：

（1） 有唯一不動(dòng)點(diǎn)；

（2） 。1

相關(guān)研究《概率度量空間的有界性、可分性與緊性》一文系統(tǒng)地提出了概率度量空間上的有界性、可分性、緊性、一致緊性等概念，對(duì)空間結(jié)構(gòu)進(jìn)行了較全面的探討，證明了涉及各種概念之間、關(guān)系的一系列定理。3

《概率度量空間中的一類非線性算子方程的可解性》一文利用泛函在概率度量空間中引入半序，并利用此半序的方法研究了概率度量空間中的非線性算子方程Lx=Ax的可解性問(wèn)題，得到了幾個(gè)新的定理；同時(shí)推廣了若干重要定理。4

《關(guān)于概率度量空間中若干非線性算子問(wèn)題的研究》一文主要研究了概率度量空間中的幾個(gè)非線性問(wèn)題。概率度量空間中元素之間的距離是用分布函數(shù)來(lái)度量的，并且通常的度量空間都是概率度量空間的一個(gè)特殊情況，所以研究概率度量空間中的非線性算子問(wèn)題具有非常重要的意義。5