[科普中國]-鞅差序列

鞅差序列 (martingale-differencesequence)與鞅差概念相關(guān)。當期望值服從于過往值都為零的假設時，一個隨機序列X是一個鞅差序列（MDS）。鞅差序列 (martingale-differencesequence)是一類隨機序列。指部分和序列是鞅的隨機序列。

概念鞅差序列 (martingale-differencesequence)是一類隨機序列。指部分和序列是鞅的隨機序列。設X={X(n)，n≥0}是定義在概率空間(Ω，F(xiàn)，P)上的隨機序列。{Fn}n≥0是一上升σ代數(shù)族。稱X為鞅差序列，如果下列條件成立：

1.X是{Fn}適應，即對每一n≥0，X(n)是Fn可測的。1

2.對每一n≥0，X(n)是可積的。

3.對每一n≥0，E[X(n+1)|Fn]=0 a.s.P。

如果Y={Y(n)，n≥0}是一{Fn}鞅，則由X(0)=Y(0)，X(n)=Y(n+1)-Y(n)(對n≥1)定義的序列X={X(n)，n≥0}是關(guān)于{Fn}的鞅差序列。反之，若X={X(n)，n≥0}是關(guān)于上升σ代數(shù)族{Fn}n≥0的鞅差序列，則由：

定義的Y={Y(n)，n≥0}是一{Fn}鞅。

鞅鞅是一類重要的隨機過程。設{X(t)，t∈R+}是定義在概率空間(Ω，F(xiàn)，P)上適應于上升σ代數(shù)族{Ft}t∈R+的隨機過程.稱{X(t)，t∈R+}為{Ft}鞅，如果下列兩條件成立：

1.對每一t∈R+，X(t)可積。

2.對任意t>s≥0，E[X(t)|Fs]=X(s) a.s.p。

由條件2立即推出E[X(t)]=E[X(s)]。martingale一詞意指一種馬具，即中文的“鞅”，但亦指西方賭博中的一種輸后加倍下注的賭法。

在離散時間情形，鞅有如下直觀意義：設X(0)表示賭徒開始參加賭博時的賭本，X(n)(n≥1)表示他在第n局賭博后的總賭金(即賭本X(0)與前n局的輸贏之總和)，而Fn=σ(X(i)， i=0，1，…，n)，反映了前n局賭博的全部信息.如果{X(n)，n≥0}是關(guān)于{Fn}n≥0的鞅，則條件E[X(n+k)|Fn]=X(n)表示在已知前n局輸贏的條件下，再經(jīng)過k局(k≥1)賭博后，賭徒的總賭金在平均意義下是和他在第n局后的總賭金相等的。這就是說賭博是“公平的”。對于這種賭博，不管用什么賭法，按平均來說，賭徒最終不會從賭博中得益或輸蝕。

鞅差設X={Xt，t≥0}為一隨機過程，E(Xt|Xu，u≤s)表示 Xt關(guān)于{Xu，u≤s}的條件期望。若對任意的s≤t，E(Xt| Xu，u≤s)=0以概率1成立，則稱X={Xt，t≥0}為鞅差。 若X={Xn，n∈N}為鞅，Yn=Xn-Xn-1，n≥1，X0=Y0，則 Y={Yn，n ∈N}為鞅差序列。反之，若Y={Yn，n ∈N}為鞅差序列，Xn=Yj，則X={Xn，n ∈N}為鞅。

隨機過程隨機過程是隨時間推進的隨機現(xiàn)象的數(shù)學抽象。設(Ω，?，P)為概率空間，T為指標t的集合，如果對每個t∈T，有定義在Ω上的實隨機變量X(t)與之對應，就稱隨機變量族X={X(t)，t∈T}為一隨機過程。

人們對一些特殊的隨機過程早有研究。1907年前后，俄國數(shù)學家馬爾可夫提出并研究一種能用數(shù)學分析方法研究自然過程的一般圖式，后人稱這種圖式為馬爾可夫鏈。1923年，美國數(shù)學家N.維納從數(shù)學上定義了布朗運動，后來也稱數(shù)學上的布朗運動為維納過程。這種過程至今仍是隨機過程的重要研究對象。通常認為，隨機過程一般理論的研究于20世紀30年代才開始。1931年，原蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫戈羅夫發(fā)表了《概率論的解析方法》;1934年，辛欽發(fā)表了《平穩(wěn)過程的相關(guān)理論》。這兩篇重要論文為馬爾可夫過程和平穩(wěn)過程奠定了理論基礎。稍后，法國數(shù)學家萊維從樣本函數(shù)角度研究隨機過程，引進一般可加過程并研究了它的樣本函數(shù)結(jié)構(gòu)，他出版的關(guān)于布朗運動與可加過程的兩本書中蘊含著豐富的概率思想。1953年，美國數(shù)學家J.L.杜布出版的著作《隨機過程論》中系統(tǒng)且嚴格地敘述了隨機過程的基本理論。他的工作推動了鞅理論的發(fā)展。1953年日本數(shù)學家伊藤清建立了關(guān)于布朗運動的隨機微分方程的理論，定義了對布朗運動的一種隨機積分——伊藤積分，為研究馬爾可夫過程開辟了新的道路。近年來由于鞅論的進展，人們討論了關(guān)于半鞅的隨機微分方程，而流形上的隨機微分方程理論正方興未艾。20世紀60年代，法國學派基于馬爾可夫過程和位勢理論中的一些思想與結(jié)果，在相當大的程度上發(fā)展了隨機過程的一般理論，包括截定理與過程的投影理論等，中國學者在平穩(wěn)過程、馬爾可夫過程、鞅論、極限定理、隨機微分方程等方面都做出了較好的工作。1

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

孫和軍 - 副教授 - 南京理工大學