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[科普中國]-特征超曲面

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特征超曲面(characteristic hypersurface)是求解雙曲型方程或研究其解的性質(zhì)時起重要作用的一種超曲面。

概念特征超曲面(characteristic hypersurface)是求解雙曲型方程或研究其解的性質(zhì)時起重要作用的一種超曲面。一個超曲面S:φ(t,x)=0,如果在其上成立:

就稱S是方程:

的一個特征超曲面,其中:

稱為方程(1)在(x,t)處的特征方程。對于雙曲型方程,任一特征超曲面均由雙特征線組成,而雙特征線(又稱特征射線)t=t(τ),x=x(τ)由如下常微分方程組:

滿足附加條件(2)的解給出。由過一點P(t0,x0)的一切雙特征線所構成的特征超曲面,稱為以P為頂點的特征劈錐面,特征劈錐面連同其內(nèi)部稱為特征劈錐體,它們由位于t≥t和t≤t的向前及向后兩部分組成。過P點指向此劈錐面內(nèi)部的任一方向,稱為此點的類時方向;一個處處和類時方向相切的曲線稱為時向曲線。以P為頂點的特征劈錐內(nèi)部的任一點,都可用時向曲線與P點相連結。對曲面上任一點,都有經(jīng)過該點且位于此曲面上的時向曲線時稱此曲面為時向曲面。處處將劈錐的前后兩部分分隔開的超曲面稱為空向曲面。對方程(1),超曲面(t=常數(shù))就是空向曲面。對波動方程,雙特征線都是直線xi=ai+αit(i=1,2,…,n),式中:

而以P(t,x)為頂點的特征劈錐面就是特征錐面:

此時t軸恰為一個時向曲線。在方程(1)的主部的系數(shù)有界時,以任何點為頂點的特征劈錐面都可包含在以此點為頂點的一個固定大小的圓錐中。解的弱間斷面一定是特征超曲面。因此,在波的傳播中,特征超曲面可用來表示波前,即作為已受擾動與未受擾動的區(qū)域的分界面,而任何擾動都沿著雙特征線傳播。

擾動沿雙特征線傳播的性質(zhì),充分體現(xiàn)了一般情形下線性雙曲型偏微分方程的解的奇性傳播的特點。在光學中,雙特征線就是光線,沿著它們積分一些常微分方程,在高頻振動的情形下,可得到精確解的漸近展開式。此方法稱為幾何光學近似。它將波動光學和幾何光學聯(lián)系起來,并為傅里葉積分算子提供了一個雛型。1

雙曲型微分方程雙曲型偏微分方程是描述振動或波動現(xiàn)象的一類重要的偏微分方程。雙曲型偏微分方程解可以分解為振動與振動相乘,或指數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)相乘的形式,一般能量無窮。

雙曲型偏微分方程簡稱雙曲型方程,是偏微分方程的一種類型。它主要用于描述振動、波動現(xiàn)象與相應的運動過程。它的一個典型特例是波動方程和n=1時的波動方程??捎脕砻枋鱿业奈⑿M振動,稱為弦振動方程。這是最早得到系統(tǒng)研究的一個偏微分方程。

對于非線性雙曲型方程,雙曲型的定義一般要依賴于所考察方程的解。非線性雙曲型方程柯西問題光滑的存在性一般只能是局部的。它的解在有限時間內(nèi)會產(chǎn)生奇性。1

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財經(jīng)大學