[科普中國]-特里科米問題

簡介

一偏微分方程在所考慮的區(qū)域的某一部分上是橢圓型的,在另一部分上是雙曲型的,這些部分由一些曲線(或一些曲面)所分隔，在分界線(面)上方程或者退化為拋物型的,或者是不定義的,這樣的方程稱作混合型方程1。

對(duì)此方程特里科米提出了一種新的邊值問題，也就是特里科米問題。特里科米問題(Tricomi problem)最早系統(tǒng)研究過的混合型偏微分方程的邊值問題。對(duì)最簡單的線性混合型方程(也稱為特里科米方程)。

特里科米(Tricomi , F. G.)在如下的邊界條件下建立了解的存在性和惟一性定理:設(shè)AC,BC是方程在雙曲區(qū)域中的特征線，是連結(jié)A,B在橢圓 區(qū)域中的若爾當(dāng)曲線，它們圍成區(qū)域D，在AC(或 BC)及。上給定邊值.這種邊值問題稱為特里科米問題。恰普雷根方程的特里科米問題也有意義。

特里科米通過解奇異積分方程問題證明了這個(gè)問題解的存在性。自特里科米的工作之后，混合型方程，特別由于它與跨音速、超音速流動(dòng)理論有著直接聯(lián)系而引起了廣泛的重視，從40年代起不斷有人對(duì)它進(jìn)行研究，基本上在三個(gè)方面開展工作：①提出新的邊值問題，并證明解的存在性和惟一性；②尋求新的研究工具和途徑，且不斷減弱在證明可解性時(shí)所附加在方程系數(shù)和邊界曲線上的限制；③利用混合型方程解決氣體動(dòng)力學(xué)、幾何學(xué)和彈塑性力學(xué)中的各種問題。

發(fā)展史混合型方程的研究歷史比較短。1923年，意大利F.G.特里科米最先研究了方程。

美國數(shù)學(xué)家K.O.弗里德里希斯在50年代末建立了正對(duì)稱方程組的理論，在一定意義下統(tǒng)一地處理雙曲、拋物、橢圓以及混合型方程的邊值問題。將此理論應(yīng)用于混合型方程的研究，不僅得到了一些適定的新的邊值問題，而且也提供了新的研究工具：能量不等式、強(qiáng)弱解一致性和解的可微性等。同時(shí)還促進(jìn)了多個(gè)自變量的和非線性的混合型方程的研究?；旌闲头匠痰难芯窟€與彈性薄殼無旋理論、幾何曲面變形理論以及其他物理、力學(xué)問題等有著廣泛的聯(lián)系。
除上述那種方程外，還有一類方程(方程組)，它們是在域的某些點(diǎn)集(包括邊界點(diǎn))上發(fā)生型的蛻化，但在區(qū)域上并不同時(shí)出現(xiàn)有橢圓型和雙曲型。這類方程(組)被稱為退化方程（組）。退化方程（組）可分為退化拋物型方程、退化橢圓型方程（二者合在一起還稱為具有非負(fù)特征的方程）、退化雙曲型方程（組）等。退化方程（組）在邊界層理論、無旋薄殼理論、滲流理論、擴(kuò)散過程理論及其他許多物理和力學(xué)問題中遇到?；旌闲头匠痰难芯扛龠M(jìn)了對(duì)退化橢圓型方程和退化雙曲型方程的深入研究。這類方程（方程組）基本上在兩個(gè)緊密聯(lián)系的方向上開展研究：

①證明邊值問題的可解性，在此考慮到由于型的蛻化而在問題提法上的改變；

②研究解的性質(zhì)，特別是建立類似于非退化方程的解的性質(zhì)。