[科普中國]-再生核

再生核又稱為重建核，它定量地給出了小波基的相關(guān)性和冗余性。如果變換系數(shù)之間有一定的相關(guān)性（不正交），就可能從其中一個變換系數(shù)恢復（或再生）出另外一個變換系數(shù)，因此，再生核的稱謂由此得來。

簡介再生核又稱為重建核，它定量地給出了小波基的相關(guān)性和冗余性。

從小波基函數(shù)的定義可以猜想，如果a，τ參數(shù)連續(xù)變化，得到的小波基將是冗余的?；蛘哌@樣理解：如果在尺度-位移平面上的兩個點 和 很靠近，那么得到的小波基函數(shù) 和 形狀和大小很接近，位置也很靠近，它們具有很強的相關(guān)性，而且隨著兩個點的更加靠近，相關(guān)性增強，反之則相關(guān)性減弱。存在相關(guān)性就意味著不正交（因為根據(jù)概率論的知識，正交必定不相關(guān)），因此就存在著冗余。

推論尺度-位移連續(xù)變化的小波基函數(shù) 形成了一組非正交的過度完全基。其中的“過度”表示這一組基含有冗余性，“完全”表示這一組基可以完全覆蓋整個尺度一位移平面，這樣，任意一個信號都可以用這些基來分解表示。在 a-τ平面上任意兩點 和 ，其對應的小波基函數(shù)之間究竟有多大的相關(guān)性，這就需要用再生核來描述和刻畫。從再生核的定義式，即

可以看出，式(1)實質(zhì)上是計算函數(shù)內(nèi)積 ，只是比例系數(shù)稍有不同。在數(shù)學上，內(nèi)積實質(zhì)上表示了兩個函數(shù)的“相似”程度。如果兩個信號矢量 與 完全垂直，那么內(nèi)積 再生核 表示兩個信號矢量完全不相關(guān)。如果矢量 與 完全平行，那么內(nèi)積 和再生核 都分別取得最大值，表示兩個信號矢量完全相關(guān)。式(1)中的系數(shù)為

表征了a-τ平面上任意兩點對應的小波基函數(shù)之間的相關(guān)性，此外， 也可以表征連續(xù)小波變換系數(shù) 和 之間的相關(guān)性大小。如果變換系數(shù)之間有一定的相關(guān)性（不正交），就可能從其中一個變換系數(shù)恢復（或再生）出另外一個變換系數(shù)，因此，再生核的稱謂由此得來。實際上，要完全準確恢復出 ，僅僅依靠 是不夠的，通過 只能提供部分恢復信息，如果將 的“部分貢獻”表示為

再生核方程 的完全準確恢復需要a-τ平面上無數(shù)個類似于 的點的共同貢獻才能完成，這種無限多個貢獻的累積就歸結(jié)為a-τ平面上的二維積分，即

式(4)稱為重建核方程（或再生核方程）。1

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學