[科普中國]-向量子空間

定義

設(shè) 是 的一個非空子集，若 中的元素滿足：

（1）若任意的 ，則 ；（對加法是封閉的）

（2）若任意的 ， （任意實數(shù)），則 。（對數(shù)乘也是封閉的）

則稱集合 是 的一個子空間。1

性質(zhì)如果 是 的一個子空間，則必有 ，即則子空間中必須包含“0向量”。

證明：

是 的子空間， 非空，從而存在 ，由對數(shù)乘封閉， ，對加法封閉，所以

此性質(zhì)是向量子空間的必要條件，如果 中沒有0向量， 就不是 的子空間。而且一般來說，證明向量子空間中有0向量，可以說明子空間非空。

例子例1： 為 中形如 ， 為任意實數(shù)的集合，驗證 是 的一個子空間。

，所以 非空，任取

故由定義得， 是 的一個子空間。

例2：設(shè) 為全體實數(shù)的集合， 是否分別是 的向量子空間，設(shè)

規(guī)律：凡是對 做一個齊次線性方程的約束的集合都是向量子空間，而作非齊次線性方程的集合則因為它不穿過原點，就不是向量子空間。

證明：任取，設(shè)

故是的向量子空間。而不是的向量子空間。因為0+0+···+0不等于1，因此零向量不屬于。1