[科普中國(guó)]-等于

概述

數(shù)學(xué)上，兩個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象是相等的，若他們?cè)诟鱾€(gè)方面都相同。這就定義了一個(gè)二元謂詞等于，寫(xiě)作“=”；x = y 當(dāng)且僅當(dāng)x 和y 相等。通常意義上，等于是通過(guò)兩個(gè)元素間的等價(jià)關(guān)系來(lái)構(gòu)造的。將兩個(gè)表達(dá)式用等于符號(hào)連起來(lái)，就構(gòu)成了等式。

注意，有些時(shí)候“A = B”并不表示等式。例如，T（n）= O(n)表示在數(shù)量級(jí) n上漸進(jìn)。因?yàn)檫@里的符號(hào)“=”不滿(mǎn)足當(dāng)且僅當(dāng)?shù)亩x，所以它不等于等于符號(hào)；實(shí)際上，O(n) = T（n）是沒(méi)有意義的。請(qǐng)參見(jiàn)大O符號(hào)了解這部分內(nèi)容。

集合A 上的等于關(guān)系是種二元關(guān)系，滿(mǎn)足自反性，對(duì)稱(chēng)性，反對(duì)稱(chēng)性和傳遞性。 去掉對(duì)反對(duì)稱(chēng)性的要求，就是等價(jià)關(guān)系。 相應(yīng)的，給定集合A上的任意等價(jià)關(guān)系R，可以構(gòu)造商集A/R，并且這個(gè)等價(jià)關(guān)系將‘下降為’A/R 上的等于。

在任何條件下都成立的等式稱(chēng)為恒等式，包含未知數(shù)的等式稱(chēng)為方程式。1

基本性質(zhì)替代性：

對(duì)任意量a和b和任意表達(dá)式F（x），若a=b，則F（a）=F（b）（設(shè)等式兩邊都有意義）。

在一階邏輯中，不能量化像F這樣的表達(dá)式（它可能是個(gè)函數(shù)謂詞）。

一些例子：

對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，c，若a=b，則a+c=b+c（這里F（x）為x+c）；

對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，c，若a=b，則a-c=b-c（這里F（x）為x-c）；

對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，c，若a=b，則a'c=b'c（這里F（x）為x'c）；

對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，c，若a=b且c不為零，則a/c=b/c（這里F（x）為x/c）；

自反性：

對(duì)任意量a，a=a。

這個(gè)性質(zhì)通常在數(shù)學(xué)證明中作為中間步驟。

對(duì)稱(chēng)性：

對(duì)任意量a和b，若a=b，則b=a。

傳遞性：

對(duì)任意量a，b，c，若a=b且b=c，則a=c。

實(shí)數(shù)或其他對(duì)象上的二元關(guān)系“約等于”，即使進(jìn)行精確定義，也不具有傳遞性（即使看上去有，但許多小的差別能夠疊加成非常大的差別）。

盡管對(duì)稱(chēng)性和傳遞性通常看上去是基本性質(zhì)，但它們能夠通過(guò)替代性和自反性證明得到。2

邏輯形式謂詞邏輯含有標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于相等的公理，從而形式化萊布尼茨律。萊布尼茨律是由哲學(xué)家萊布尼茨在17世紀(jì)提出來(lái)的。 萊布尼茨的想法是，兩樣物體是同一的，當(dāng)且僅當(dāng)它們有完全相同的性質(zhì)。 形式化這一說(shuō)法，可以寫(xiě)成

對(duì)任意x 和y，x = y 當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意謂詞P，P（x）當(dāng)且僅當(dāng)P（y）。

然而，在一階邏輯中，不能對(duì)謂詞進(jìn)行量化。因此，需要使用下述公理：

對(duì)任意x 和y，若x 等于y，則P（x）當(dāng)且僅當(dāng)P（y）。

這條公理對(duì)任意單變量的謂詞P 都有效，但只定義了萊布尼茨律的一個(gè)方向：若x 和y 相等，則它們具有相同的性質(zhì)。 可以通過(guò)簡(jiǎn)單的假設(shè)來(lái)定義萊布尼茨律的另一個(gè)方向：

對(duì)任意x，x 等于x。

則若x 和y 具有相同的性質(zhì)，則特定的它們關(guān)于謂詞P 是相同的。這里謂詞P 為：P（z）當(dāng)且僅當(dāng)x = z。 由于P（x）成立，P（y）必定也成立（相同的性質(zhì)），所以x = y（P 的變量為y）.

符號(hào)的歷史“等于”符號(hào)或 “=”被用來(lái)表示一些算術(shù)運(yùn)算的結(jié)果，是由Robert Recorde在1557年發(fā)明的。

由于覺(jué)得書(shū)寫(xiě)文字過(guò)于麻煩，Recorde在他的作品 The Whetstone of Witte 中采用了這一符號(hào)。原因是符號(hào)中的兩條線(xiàn)一樣長(zhǎng)，表明其連接的兩個(gè)量也相等。這一發(fā)明在威爾士的St Mary教堂有記錄。

約等于的符號(hào)是≈或≒，不等于的符號(hào)是≠。

表示相等關(guān)系的符號(hào)。相等是數(shù)學(xué)中最重要的關(guān)系之一，所以數(shù)學(xué)中很早就出現(xiàn)了表示相等的符號(hào)。古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖(Diophantus)用“l(fā)”(有時(shí)用“ч”)表示相等，古印度人有用相當(dāng)于pha的字母表示相等.近代的德國(guó)數(shù)學(xué)家雷格蒙塔努斯(Regiomontanus，J.)、意大利數(shù)學(xué)家帕喬利(Pacioli，L.)等人用破折號(hào)“——”表示相等.現(xiàn)代用的等號(hào)“=”稱(chēng)為雷科德符號(hào)(Recorde's sign)，是英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德(Recorde，R.)在1557年出版的一本書(shū)《開(kāi)端》(Début)中第一次作為等號(hào)使用的，但其推廣十分緩慢。后來(lái)，著名學(xué)者如德國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家開(kāi)普勒(Kepler，J.)、意大利數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家伽利略(Galilei，G.)、法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬(Fermat，P.de)等人一直用文字或縮寫(xiě)語(yǔ)aequals，ae等表示相等。法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒(Descartes，R.)于1637年還用“=”表示現(xiàn)代“±”號(hào)的意義，而用“∝”作等號(hào).直到17世紀(jì)末，以“=”作等號(hào)才逐漸通用。3