[科普中國]-標(biāo)準(zhǔn)H∞控制

H∞控制方法始于1981年，Zame把SISO線性反饋系統(tǒng)的靈敏度問題看作是H∞最小范數(shù)問題，并涉及了古典控制理論的一些基本問題，立即引起了人們的極大注意。后來，H∞范數(shù)延伸到更為一般的問題，特別是在考慮魯棒性問題時(shí)，它比其它方法更為直接。H∞控制的表示很簡單，但求解過程卻十分復(fù)雜。目前主要有頻域法、多項(xiàng)式法、狀態(tài)空間法。

跟蹤問題、模型匹配問題，魯棒穩(wěn)定問題、加權(quán)混合靈敏度問題等各種控制問題都可以化為如圖1所示的H∞標(biāo)準(zhǔn)問題。

圖1

其中：

G、k分別表示廣義受控對象和控制器；

W: l維外部輸入信號；

z: ρ維受控輸出；

u: n維控制信號；

y: m維量測輸出。

按w、z、u、y 的維數(shù)將G(s)分塊為：

有

H∞控制的標(biāo)準(zhǔn)問題是：

求一真實(shí)有理的K，使G穩(wěn)定，并使由W到Z的傳遞函數(shù)矩陣：

的范數(shù)最小，即

或者：求所有真實(shí)有理的K，使G穩(wěn)定，且使

前者稱為H∞最優(yōu)控制問題，后者稱為H∞次優(yōu)控制問題。

H∞控制的表示很簡單，但求解過程卻十分復(fù)雜。目前主要有頻域法、多項(xiàng)式法、狀態(tài)空間法1。

通過把標(biāo)準(zhǔn)H∞控制問題化為模型匹配問題而求解。

由于若K能穩(wěn)定G22，必定穩(wěn)定G。所以將G22作左、右互質(zhì)分解。

使G22穩(wěn)定的參數(shù)化公式為：

利用K的參數(shù)化公式，將標(biāo)準(zhǔn)H∞控制問題化為模型匹配問題：

其中：

標(biāo)量模型匹配問題的求解步驟：

（1）已知T1、T2∈ RH∞，將T2作內(nèi)外分解 ，定義 。

（2）將R作穩(wěn)定、反穩(wěn)定分解，并求出反穩(wěn)定部分的最小實(shí)現(xiàn)。

（3）解Lyapunov方程，求得能控性和能觀性克萊姆矩陣Lc、Lo。

（4）求LcLo的最大特征值及相互的特征向量W。

（5）定義f和g為：

（6）最后求得：

距離：α=λ

X和Q的最優(yōu)解為：

對于系統(tǒng)G，進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)左互質(zhì)分解：

求控制器K，使系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的過程如下( 表示系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度)：

（1）使

（2）求解廣義控制代數(shù)Riccati方程和廣義濾波代數(shù)Riccati方程的半正定解X、Z。

（3）求出G的標(biāo)準(zhǔn)左互質(zhì)分解：

（4）求

（5）中心控制器

其中

該方法的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是不必重復(fù)優(yōu)化，魯棒性指標(biāo)ν可以直接求出。

前面敘述的幾種方法，盡管也用到了狀態(tài)空間描述,但都是為了計(jì)算的目的。這一部分直接利用廣義受控對象的狀態(tài)空間描述進(jìn)行設(shè)計(jì)，計(jì)算和控制器描述。

設(shè)廣義受控對象的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)為：

設(shè)廣義受控對象的狀態(tài)是可測的，假設(shè)〔 A、B2〕是能穩(wěn)定的，即系統(tǒng)〔 A、B2、C1〕的不能控模態(tài)是漸穩(wěn)定的。

定常狀態(tài)反饋H∞次優(yōu)控制問題：

對于給定的常數(shù)γ0

H∞控制還有其它方法,如插值法、共軛法及對上述方法的改進(jìn)和補(bǔ)充。

H∞控制的特點(diǎn)如下：

（1）將控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的性能指標(biāo)表述為特定閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣H∞范數(shù)的形式，是解決系統(tǒng)不確定性的一種有效工具。

（2）克服了經(jīng)典控制理論和現(xiàn)代控制理論的不足，將頻域概念和狀態(tài)空間法融合在一起。

（3）給出了魯棒控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法，不僅能保證控制系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性，而且能優(yōu)化一些性能指標(biāo)。

H∞控制由于計(jì)算量大，控制器復(fù)雜，工程實(shí)現(xiàn)困難較大。但由于其具有較強(qiáng)的魯棒性，對于那些參數(shù)大范圍變化、模型動態(tài)不定及非線性嚴(yán)重的對象，特別適應(yīng)，因而在飛行控制系統(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用。

H∞控制還用于機(jī)器人，帶彈簧的平板車、柔性擺的控制器設(shè)計(jì)。由于實(shí)際懷情況各不相同，在應(yīng)用H∞方法時(shí)一般都需對H∞方法作改進(jìn)和修正。