[科普中國]-完全可控性

可控性問題是現(xiàn)代控制理論與應(yīng)用研究的一個(gè)基本內(nèi)容。對(duì)于確定性線性系統(tǒng)，已有許多經(jīng)典的結(jié)果。但是對(duì)于隨機(jī)系統(tǒng)，可控性問題十分復(fù)雜，在概念上包含3個(gè)方面：完全可控、漸近可控和隨機(jī)可控。1

可控性當(dāng)系統(tǒng)用狀態(tài)方程描述時(shí)，給定系統(tǒng)的任意初始狀態(tài)，可以找到容許的輸入量（即控制矢量），在有限的時(shí)間之內(nèi)把系統(tǒng)的所有狀態(tài)引向狀態(tài)空間的原點(diǎn)（即零狀態(tài)）。則系統(tǒng)是完全可控制的。如果只有對(duì)部分狀態(tài)變量可以做到這一點(diǎn)，則系統(tǒng)不完全可控制。2

示例說明：

給定一個(gè)系統(tǒng)，輸入是，狀態(tài)變量是，輸出變量是：

解：上述動(dòng)態(tài)方程可寫成：

由于輸入不能控制狀態(tài)變量，所以狀態(tài)變量是不可控的。2

狀態(tài)的完全可控性判據(jù)1若定義連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的可控矩陣

則系統(tǒng)狀態(tài)完全可控（或系統(tǒng)可控）的充要條件是：該系統(tǒng)的可控性矩陣滿秩，即

示例如下：

給定狀態(tài)變量，試判別狀態(tài)可控性。

解：

該系統(tǒng)的可控性矩陣為：

因?yàn)?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/xEjC2pVrtJ3fEV59T99NvmVec1OVLtgdM46p.jpg" alt="" />，所以該系統(tǒng)不完全可控。2

判據(jù)2設(shè)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng) ，系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的充要條件為：當(dāng)為對(duì)角陣且特征根互異時(shí)，輸入矩陣無全零行。

示例如下：

（1）

因?yàn)闋顟B(tài)方程為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型，且B陣中不含有元素全為零的行，故系統(tǒng)是可控的。

（2）

因?yàn)闋顟B(tài)方程為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型，但B陣中含有元素全為零的行，故系統(tǒng)是不可控的。2

判據(jù)3狀態(tài)完全可控的條件也可用傳遞函數(shù)或傳遞矩陣描述。

狀態(tài)完全可控性的充分必要條件是在傳遞函數(shù)或傳遞矩陣中不出現(xiàn)相約現(xiàn)象。如果發(fā)生相約，那么在相約的模態(tài)上，系統(tǒng)不可控。

示例如下：

給定傳遞函數(shù)：，判別系統(tǒng)的狀態(tài)可控性。

顯然，在此傳遞函數(shù)的分子和分母中存在相約的因子（s+2.5）（因此失去一個(gè)自由度）。由于有相約因子，所以該系統(tǒng)狀態(tài)不完全可控。2

輸出完全可控性設(shè)系統(tǒng)，則系統(tǒng)輸出完全可控的充要條件是：

輸出可控性矩陣滿秩，即其中， 為輸出變量的個(gè)數(shù)。

一般而言，系統(tǒng)輸出可控性和狀態(tài)可控性之間沒有什么必然的聯(lián)系。即輸出可控不一定狀態(tài)可控，狀態(tài)可控不一定輸出可控。2