[科普中國(guó)]-奇異H∞控制

基本概念奇異系統(tǒng)

奇異系統(tǒng)(singular systems)是一類由微分及代數(shù)方程綜合描述的系統(tǒng)，它在結(jié)構(gòu)形式上比僅由純微分方程或差分方程描述的正則系統(tǒng)多了代數(shù)方程描述部分。由于研究領(lǐng)域的不同，奇異系統(tǒng)又被不同領(lǐng)域的學(xué)者冠以不同的稱呼，例如廣義狀態(tài)空間系統(tǒng)、描述系統(tǒng)等等。由于奇異系統(tǒng)描述比正常系統(tǒng)多了代數(shù)方程描述部分(快變子系統(tǒng))，因此，奇異系統(tǒng)的適用度比正常系統(tǒng)要廣泛得多。通過(guò)系統(tǒng)適當(dāng)?shù)刈儞Q，奇異系統(tǒng)也可以描述成正則系統(tǒng)，但是，許多原有系統(tǒng)的物理特性在變換后有可能會(huì)丟失。

最早的奇異系統(tǒng)模型是由學(xué)者Ardema在1962年通過(guò)研究航天器的動(dòng)力模型過(guò)程中提出的。后來(lái)，Rosenbrock在研究復(fù)雜的電網(wǎng)系統(tǒng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)電網(wǎng)中某些部件突然失效，在失效的前后時(shí)刻有電流的瞬動(dòng)現(xiàn)象產(chǎn)生，這種瞬間變化的現(xiàn)象不包括在常見(jiàn)正則系統(tǒng)描述之中，在經(jīng)過(guò)大量的研究及實(shí)驗(yàn)后，建立了電網(wǎng)系統(tǒng)的奇異模型。自此以后，廣大研究愛(ài)好者對(duì)奇異系統(tǒng)展開(kāi)了廣泛地研究，并且獲得了許多非常有價(jià)值的理論成果。由于奇異系統(tǒng)適合于描述規(guī)模較大且非常復(fù)雜的系統(tǒng)，因此，自上世紀(jì)八十年代開(kāi)始奇異系統(tǒng)被非常廣泛地用于奇異攝動(dòng)系統(tǒng)、電子網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)、決策系統(tǒng)、復(fù)雜大規(guī)模系統(tǒng)等各個(gè)領(lǐng)域。隨著廣大學(xué)者研究的不斷發(fā)展和深入，許多可以由奇異系統(tǒng)描述的實(shí)際系統(tǒng)不斷被發(fā)現(xiàn)。例如，受限機(jī)器人、紐曼模型、Leontief模型、非因果系統(tǒng)、核反應(yīng)堆等均是典型的奇異系統(tǒng)。

目前，雖然大量的學(xué)者在奇異系統(tǒng)相關(guān)理論中取得了許多的理論研究成果，但是仍舊有不少的奇異系統(tǒng)理論分析與實(shí)際應(yīng)用上的問(wèn)題需要研究及解決。例如目前仍然沒(méi)有獲得時(shí)變奇異系統(tǒng)顯式解等，同時(shí)，仍有許多研究成果令人不太滿意，如時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定與鎮(zhèn)定等。

H∞控制LQG最優(yōu)控制理論在七十年代取得很大進(jìn)展，其在航空航天方面取得的成就使之成為現(xiàn)代控制理論的代表。然而在實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)中LQG理論并未達(dá)到其在航空航天方面的效果，其主要原因在于：

i)LQG理論要求模型能準(zhǔn)確描述被控系統(tǒng)；

ii)LQG理論假設(shè)系統(tǒng)外部擾動(dòng)為白噪聲。

這在實(shí)踐中是不可能的。此表明LQG最優(yōu)控制就不確定系統(tǒng)魯棒問(wèn)題而言不是有效方法。

在LQG理論形成之前，經(jīng)典控制理論對(duì)單變量系統(tǒng)采用頻域方法處理魯棒性問(wèn)題取得一定成果，但對(duì)多變量系統(tǒng)卻沒(méi)有統(tǒng)一處理方法。因此研究既具有經(jīng)典控制理論魯棒問(wèn)題處理能力同時(shí)又具有LQG多變量問(wèn)題處理能力的方法，在七十年代末受到控制界人士廣泛注意。

Zames(1981)對(duì)單變量系統(tǒng)擾動(dòng)抑制問(wèn)題提出一種處理方法。外部擾動(dòng)不再假設(shè)為白噪聲隨機(jī)過(guò)程，而是假設(shè)為范數(shù)有界的確定變量。其最優(yōu)擾動(dòng)抑制問(wèn)題敘述為：對(duì)所有范數(shù)在某一定界限的擾動(dòng)，系統(tǒng)都能將其抑制到最小。數(shù)學(xué)上可采用H∞空間來(lái)處理，故而這種方法稱為H∞最優(yōu)控制。

克服了數(shù)學(xué)上一些困難后，這種思想就可推廣到多變量系統(tǒng)(Zames and Francis 1983)。隨后魯棒穩(wěn)定問(wèn)題亦采用這種思想：對(duì)所有范數(shù)在某一定界限的攝動(dòng)，系統(tǒng)仍能保持穩(wěn)定。這種對(duì)最壞情形設(shè)計(jì)控制器的方法，使閉環(huán)在任何情況下都不致不穩(wěn)定，因而在實(shí)際生產(chǎn)中有著很大意義。

最近十年來(lái)，H∞控制理論得到很大發(fā)展。尤其是1989年Doyle等四人發(fā)表的文章((Doyle et al.1989)采用狀態(tài)空間方法求解H∞問(wèn)題，不僅使H∞理論與LQG理論互為對(duì)照，而且提供H∞問(wèn)題的有效數(shù)值解法，極大地促進(jìn)了H∞理論的發(fā)展與應(yīng)用。有限維線性系統(tǒng)之H∞理論可見(jiàn)評(píng)述(譚文，陳亞陵1994)。隨后的幾年里，H∞控制理論在非線性系統(tǒng)、采樣系統(tǒng)等都得到不同程度的進(jìn)展(Ball et al. 1993, Bamieh and Pearson 1992)。

研究現(xiàn)狀1981年Zames首次提出了著名的H∞控制思想。Zames考慮了這樣一個(gè)單輸入單輸出的設(shè)計(jì)間題，即對(duì)于屬于一個(gè)有限能量集的干擾信號(hào)，設(shè)計(jì)一個(gè)控制器使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且干擾對(duì)系統(tǒng)期望輸出影響最小。由于傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)可以描述有限能量到輸出能量的最大增益，所以表示上述影響的傳遞函數(shù)H∞范數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，這就可使具有有限功率譜的干擾對(duì)系統(tǒng)期望輸出的影響最小。

H∞控制理論的研究主流可分為兩大階段。到1984年為止是第一階段。在此階段，人們更多的是考慮多變量系統(tǒng)，把在使控制系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定的控制器集合中尋找一個(gè)使傳遞函數(shù)矩陣的H∞范數(shù)最小的解的間題。通過(guò)穩(wěn)定化的控制器的Yoular參數(shù)化變換成模型匹配或一般距離間題。然后再將其變換為Nehari間題來(lái)求解。到1988年為止是第二階段。在此階段，人們不采用輸入輸出傳遞函數(shù)矩陣的描述，而是直接在狀態(tài)空間上進(jìn)行設(shè)計(jì)。此類方法不僅設(shè)計(jì)過(guò)程簡(jiǎn)單，計(jì)算量小，而且所求的控制器的階次數(shù)較低，結(jié)果特征明顯。這一階段的標(biāo)志是1988年Doyle和Glover等在全美控制年會(huì)上發(fā)表了著名的DGKF論文，文中給出了標(biāo)準(zhǔn)H2和H∞間題的狀態(tài)空間解法.證明了H∞控制間題的解可以通過(guò)求解兩個(gè)適當(dāng)?shù)腞iccati方程得到。隨著常規(guī)系統(tǒng)H∞控制間題理論的完善，奇異系統(tǒng)H∞控制理論也得到了發(fā)展。Morihira和Takaba分別于1993和1994年用J譜分解法解奇異H∞控制問(wèn)題，Wen和Yaling用廣義特征值來(lái)解奇異H∞控制間題。這兩種方法都是在滿足一定的假設(shè)條件下，用廣義黎卡提方程給出控制器的解。1997年，Masubuchi等人提出了用兩個(gè)廣義黎卡提不等式來(lái)解決H∞控制間題，才從本質(zhì)上克服了以上兩種假設(shè)條件所帶來(lái)的限制。國(guó)內(nèi)有學(xué)者將奇異系統(tǒng)狀態(tài)反饋H∞控制問(wèn)題等價(jià)于一個(gè)常規(guī)系統(tǒng)狀態(tài)反饋H∞控制問(wèn)題，并用LMI方法給出了控制器的存在條件及解。目前，理論研究主要集中在進(jìn)一步尋找行之有效的解法，使控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)更加精確，更加實(shí)用，更加符合實(shí)際的需要。1

奇異系統(tǒng)H∞優(yōu)化問(wèn)題奇異系統(tǒng)同樣要考慮其魯棒性能。針對(duì)奇異系統(tǒng)的H∞性能優(yōu)化問(wèn)題，主要有三種方法:頻域方法，時(shí)域方法和微分對(duì)策方法。在頻域方面最早開(kāi)展工作的是Oloomi和Luse等人。Oloomi解決了雙頻標(biāo)(two-frequency-scale,TFS)系統(tǒng)的Nevanlinna-Pick插值問(wèn)題，故而提供了另一種解決奇異攝動(dòng)系統(tǒng)H∞優(yōu)化問(wèn)題的方法。同時(shí)，他還提出一種不僅適合最小相位系統(tǒng)，還適用于非最小相位系統(tǒng)的凡優(yōu)化算法。與時(shí)域方法比較，頻域方法相對(duì)更直觀，而且可以得到一些較寬松的結(jié)論，但主要缺點(diǎn)是難以推廣至非線性奇異攝動(dòng)系統(tǒng)。

在時(shí)域方面，Shahruz較早研究了線性奇異系統(tǒng)的H∞控制問(wèn)題。該文指出，一個(gè)線性奇異系統(tǒng)的H∞控制問(wèn)題可以分解為一個(gè)快子系統(tǒng)和另一個(gè)與慢子系統(tǒng)同階的子系統(tǒng)的凡問(wèn)題。Fridman采用嚴(yán)格分解方法求得一種較高精度的H∞次優(yōu)控制器。Mukaidani等采用遞歸算法求解廣義代數(shù)黎卡提方程，得到了形式上更為簡(jiǎn)單的高精度控制器，且該方法同樣適用于非標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)。Tan等則直接從廣義系統(tǒng)的角度出發(fā)，通過(guò)分解黎卡提方程，得出了與奇異參數(shù)無(wú)關(guān)的H∞次優(yōu)控制器存在的條件，且輸出反饋控制器同樣具有奇異形式，其快、慢子部分分別是對(duì)應(yīng)的快、慢子系統(tǒng)的H∞次優(yōu)控制器。由于采用了廣義系統(tǒng)方法，該結(jié)論同樣適用于非標(biāo)準(zhǔn)奇異系統(tǒng)。

H∞控制問(wèn)題與一類線性二次微分對(duì)策問(wèn)題有著非常密切的聯(lián)系，這為研究者提供了新的思路。由于通過(guò)早期的方法來(lái)處理由狀態(tài)、干擾和控制在慢子系統(tǒng)性能指標(biāo)中構(gòu)成的交叉項(xiàng)問(wèn)題時(shí)存在比較大的困難，所以該問(wèn)題一般是被忽略的。但是，微分對(duì)策方法具有數(shù)學(xué)上的直觀性與簡(jiǎn)潔性，因此，它可以很容易地解決這個(gè)問(wèn)題。Tong等首先提出用微分對(duì)策方法來(lái)研究奇異系統(tǒng)的坑控制問(wèn)題。Dragan研究了對(duì)策黎卡提方程的漸近展開(kāi)性質(zhì)，并指出它們可以被用于奇異系統(tǒng)的凡控制。在此基礎(chǔ)上，他通過(guò)引入廣義Popov-Yakubovich理論，結(jié)合漸近展開(kāi)方法較為深入地研究了奇異系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣的H∞范數(shù)對(duì)于奇異參數(shù)的依賴性。 Pan0等利用微分對(duì)策方法系統(tǒng)地研究了標(biāo)準(zhǔn)奇異系統(tǒng)H∞最優(yōu)控制問(wèn)題，并指出利用微分對(duì)策，可以很方便地統(tǒng)一考慮不同信息模式、有限/無(wú)限時(shí)域問(wèn)題。在此基礎(chǔ)上，Xu等利用廣義系統(tǒng)方法將其推廣到非標(biāo)準(zhǔn)情形。Shi等進(jìn)一步討論了具有參數(shù)不確定的系統(tǒng)魯棒控制，由于沒(méi)有采用常規(guī)的標(biāo)準(zhǔn)分解降階方法，而主要是利用有界實(shí)性質(zhì)來(lái)確保了鎮(zhèn)定反饋控制器的存在性，所以不需要考慮過(guò)多前提假設(shè)，條件得到進(jìn)一步放寬。Singh等在對(duì)策論框架下，利用Delta算子，給出了可統(tǒng)一處理連續(xù)與離散奇異系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)方法。2