[科普中國]-K類函數(shù)

在控制理論中，通常需要判斷自治系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為了解決這一問題，我們有必要使用某些特殊的比較函數(shù)。K類函數(shù)如之的如下一類函數(shù)。

定義K類函數(shù)定義（K類函數(shù)）：一個連續(xù)函數(shù) 稱之為K類函數(shù)，如果

該函數(shù)是嚴格遞增函數(shù)；

該函數(shù)滿足2

K無窮類函數(shù)定義（ 類函數(shù)）：一個連續(xù)函數(shù) 被稱為 屬于 類函數(shù)，如果

該函數(shù)屬于K類函數(shù)；

該函數(shù)滿足

該函數(shù)滿足

應(yīng)用一個非遞減正定函數(shù) 除了嚴格遞增外還滿足K類函數(shù)（或 類函數(shù)）的所有條件，那么該函數(shù)可以通過一下方式被K類函數(shù)（或 類函數(shù)）限制住上下界：

因此，為了繼續(xù)相應(yīng)的分析，這可以用連續(xù)不增正定函數(shù)，來限制我們感興趣函數(shù)的邊界。

例子α(r) = tan^?1(r)是嚴格單調(diào)遞增的，因為α′(r) = 1/(1 + r2) > 0。所以該函數(shù)屬于K類函數(shù)，但該函數(shù)不是K∞類函數(shù)，因為limr→∞ α(r) = π/2

α(r) = r^c, 對于任意正實數(shù)c，2該函數(shù)是嚴格單調(diào)遞增的，因為α′(r) = cr^(c?1)> 0。此外，limr→∞ α(r) = ∞；因此，該函數(shù)屬于K∞類。

α(r) = min{r, r^2}是連續(xù)的嚴格增函數(shù)，且limr→∞ α(r) = ∞。因此，該函數(shù)屬于K∞類。3