[科普中國(guó)]-自旋算符

簡(jiǎn)介

自旋角動(dòng)量是電子的內(nèi)稟屬性，無(wú)經(jīng)典對(duì)應(yīng)，即不能象角動(dòng)量一樣寫(xiě)成 和 的函數(shù)，而是描述電子狀態(tài)的又一個(gè)新的力學(xué)量。象其它力學(xué)量一樣，自旋角動(dòng)量也用一個(gè)算符表示。

利用角動(dòng)量的定義： ；

引入 ： 。跟經(jīng)典角動(dòng)量的共性就是它們各自的對(duì)易關(guān)系一致。

自旋算符的對(duì)易關(guān)系

角動(dòng)量平方算符：

自旋算符的本征值由于在空間任何方向上的投影只能取兩個(gè)數(shù)值，所以三個(gè)算符的本征值都是兩個(gè) ，它們的平方就都是 ：

類(lèi)似 ；

令

s與l相當(dāng)，稱(chēng)s為自旋量子數(shù)。（l 叫軌道量子數(shù)或角量子數(shù)）。1

自旋算符的本征波函數(shù)本征：當(dāng)我們僅研究自旋性質(zhì)時(shí)，系統(tǒng)的空間部分波函數(shù)可以視為常數(shù)，選擇 表象，則算符的兩個(gè)本征態(tài)為：

一般態(tài)：當(dāng)體系自旋處在一般態(tài) 時(shí)，由前面基本假設(shè)，為自旋算符本征函數(shù)的線(xiàn)性組合，記為：

這樣的列矩陣形式稱(chēng)為旋量，2行1列的矩陣二分量旋量，實(shí)際上也是二維Hilbert Space的一個(gè)矢量。

自旋算符的么正變換兩種表象中的電子自旋算符的矩陣表示可以由兩種表象之間的變換矩陣作么正變換相互轉(zhuǎn)換。根據(jù)《量子力學(xué)》教科書(shū)中的有關(guān)論述，算符F 的態(tài)矢和矩陣表示從A表象到B表象的變換式分別為

上式等價(jià)于：

式中| B〉和F′為算符F 在B表象中的態(tài)矢和矩陣表示，| A〉和F為F 在A表象中的態(tài)矢和矩陣表示，U為從A表象到B表象的變換矩陣。雖然二者等價(jià)，但我們認(rèn)為，為了使計(jì)算方便，選用第二個(gè)式子為表象之間的變換式更好。

以從Sx表象到Sz表象的變換為例，設(shè)由Sx表象變換到Sz表象的變換矩陣為

U必須為么正矩陣，即滿(mǎn)足

可以計(jì)算得到由Sx表象到Sz表象的變換矩陣為

對(duì)電子自旋在Sx表象的表示作么正變換即可得到它們?cè)赟z表象的表示，即對(duì)Sy表象的變換也可以作類(lèi)似的討論。2