[科普中國(guó)]-希耳伯空間

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，希爾伯特空間是歐幾里德空間的一個(gè)推廣，其不再局限于有限維的情形。與歐幾里德空間相仿，希爾伯特空間也是一個(gè)內(nèi)積空間，其上有距離和角的概念（及由此引伸而來(lái)的正交性與垂直性的概念）。此外，希爾伯特空間還是一個(gè)完備的空間，其上所有的柯西列等價(jià)于收斂列，從而微積分中的大部分概念都可以無(wú)障礙地推廣到希爾伯特空間中。希爾伯特空間為基于任意正交系上的多項(xiàng)式表示的傅立葉級(jí)數(shù)和傅立葉變換提供了一種有效的表述方式，而這也是泛函分析的核心概念之一。希爾伯特空間是公式化數(shù)學(xué)和量子力學(xué)的關(guān)鍵性概念之一。

描述同一個(gè)態(tài)可以在不同的表象中用波函數(shù)來(lái)描述，所取的表象不同，波函數(shù)的形式也不同，但他們描寫(xiě)同一個(gè)態(tài)。這和幾何中一個(gè)矢量可以在不同的坐標(biāo)系中描寫(xiě)類(lèi)似。矢量A可以在直角笛卡爾坐標(biāo)中用三個(gè)分量（Ax,Ay,Az）來(lái)描寫(xiě)，也可以在球極坐標(biāo)中用三個(gè)分量（Ar,Aθ,Aφ）來(lái)描寫(xiě)等等。在量子力學(xué)中，我們可以把狀態(tài)Ψ看成是一個(gè)矢量——態(tài)矢量。選取一個(gè)特定的Q表象，就相當(dāng)選取一個(gè)特定的坐標(biāo)系。Q的本征函數(shù)u1(x)u2(x)u3(x)···un(x)···是這個(gè)表象的基矢。這相當(dāng)于直角坐標(biāo)系中單位矢量i,j,k。波函數(shù)（（a1(t)a2(t)···）是態(tài)矢量Ψ在Q表象中沿各基矢方向的“分量”。正如A沿i,j,k三個(gè)方向的分量是（AxAyAz）一樣。i,j,k是三個(gè)相互獨(dú)立的方向，說(shuō)明A所在的空間是普通三維空間。量子力學(xué)中Q的本征函數(shù)u1(x)u2(x)u3(x)···un(x)···有無(wú)限多，所以態(tài)矢量所在的空間是無(wú)限維的函數(shù)空間。這種空間在數(shù)學(xué)中稱(chēng)為Hilbert空間。1

優(yōu)勢(shì)
與經(jīng)典力學(xué)不同，量子力學(xué)中用波函數(shù)來(lái)描述微觀(guān)粒子的運(yùn)動(dòng)。所以在量子力學(xué)中也用不同于經(jīng)典力學(xué)的方法來(lái)表示力學(xué)量，即用算符來(lái)表示微觀(guān)粒子的力學(xué)量。而量子力學(xué)中算符有其自己的性質(zhì)：算符都是線(xiàn)性算符，算符有厄米性。所以量子力學(xué)中也稱(chēng)算符為厄米算符，且厄米算符的本征函數(shù)構(gòu)成了正交、歸一、完備系。[3]在量子力學(xué)中，算符可以用矩陣表示，公式可以用矩陣表述。矩陣本身可以看成是一個(gè)級(jí)數(shù)組成的空間。而且一個(gè)粒子的態(tài)是又很多個(gè)態(tài)疊加而成的。量子力學(xué)的態(tài)空間是一個(gè)完備的線(xiàn)性?xún)?nèi)積空間。在量子力學(xué)的研究中，常常要得到一個(gè)本征函數(shù)的本征值，且本征函數(shù)往往都是一個(gè)偏微分方程。在解偏微分時(shí)，需要解本征值方程，常用的方法是級(jí)數(shù)法。這時(shí)需要有一個(gè)函數(shù)空間，其軸是一組正交完備系。由一組正交完備的基底通過(guò)線(xiàn)性疊加組成方程的解。本征解既是在一個(gè)具體表象（固定坐標(biāo)軸）中只有一個(gè)軸表示。這個(gè)空間叫做希爾伯特空間。量子力學(xué)之所以選擇Hilbert空間作為描述微觀(guān)系統(tǒng)狀態(tài)的函數(shù)空間，是由態(tài)函數(shù)的性質(zhì)決定的，量子力學(xué)使用的數(shù)學(xué)工具主要是泛函分析。[4]所以在量子力學(xué)中引入Hilbert空間是非常必要的。

應(yīng)用在量子力學(xué)中從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，量子力學(xué)是研究如何從一個(gè)線(xiàn)性空間得到的問(wèn)題，即線(xiàn)性空間函數(shù)，其數(shù)學(xué)方法是以泛函分析為主。我們把空間之間的映射稱(chēng)為算子，所謂泛函不過(guò)是值域落在實(shí)直線(xiàn)R上或復(fù)平面C內(nèi)的一個(gè)算子，量子力學(xué)中考慮的是線(xiàn)性泛函書(shū)是一個(gè)定義域落在矢量空間X中，而值域落在X的標(biāo)量域K中的線(xiàn)性算子。在量子力學(xué)中，每個(gè)力學(xué)變量對(duì)應(yīng)于一個(gè)希爾伯特算符。所要計(jì)算的力學(xué)量通過(guò)對(duì)應(yīng)的希爾伯特算符，將其態(tài)函數(shù)構(gòu)成的希爾伯特空間，映射到實(shí)數(shù)域而得到的。與量子力學(xué)對(duì)應(yīng)的希爾伯特空間是平方可積函數(shù)的空間。

在環(huán)境科學(xué)中在環(huán)境綜合評(píng)價(jià)中，是以每種污染物相互獨(dú)立，互不相關(guān)的假設(shè)為前提的。這在數(shù)學(xué)上就成為兩兩正交。用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)可以寫(xiě)作

這樣，我們把每一種污染物記作一個(gè)分矢量，那么N種污染物就構(gòu)成了一個(gè)N維空間。這就把希耳伯空間理論引入了環(huán)境科學(xué)。其實(shí)，希耳伯空間理論在物理學(xué)、量子化學(xué)中早已獲得了廣泛的應(yīng)用。如此，由N種污染物造成的環(huán)境污染就構(gòu)成了在希耳伯空間中的“污染場(chǎng)”。而每組特定數(shù)值的N種污染物造成的環(huán)境污染狀態(tài)就可以看作是希耳伯空間中的一個(gè)向量A，而我們所要求的環(huán)境污染評(píng)價(jià)的綜合指數(shù)就是向量A的“模”值，可用下式表示：

對(duì)于N維（N>3）空間確是一個(gè)非常抽象的純數(shù)學(xué)概念，沒(méi)有一個(gè)客觀(guān)的實(shí)體可以與它相對(duì)應(yīng)。但是三維空間是大家所熟悉的。其實(shí)，三維空間僅是任意維向量空間的一個(gè)特例。換而言之，任意維向量空間是三維空間的推廣。2

在顏色測(cè)量中目前顏色測(cè)量主要有兩種方法：一種是分光測(cè)色法，另一種是光電積分測(cè)色法。光電積分測(cè)色操作簡(jiǎn)單、測(cè)量快捷、成本低、體積小，在生產(chǎn)實(shí)踐中有廣泛的應(yīng)用。光電積分測(cè)色儀的主要弱點(diǎn)是顏色三刺激值的測(cè)量不夠準(zhǔn)確，所以長(zhǎng)期以來(lái)僅被當(dāng)作色差計(jì)使用。測(cè)量誤差主要是由于儀器的光電系統(tǒng)不嚴(yán)格滿(mǎn)足盧瑟條件（Luther condition）所致。利用希耳伯空間向量間的投影可有效的擬合出光譜三刺激值，只要適當(dāng)?shù)倪x擇光電器件光譜的位置和個(gè)數(shù)，就可對(duì)光譜三刺激值準(zhǔn)確的逼近。3