[科普中國]-電象法

電象法實質(zhì)是用“ 鏡象電荷” 來“ 替換” 導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷, 并仍能保證導(dǎo)體表面以及導(dǎo)體以外空間的邊界條件不變, 從而可用較簡的電荷分布求得場的分布。對于只有一個邊界面的情況, 電動力學(xué)中作出了詳細(xì)介紹, 當(dāng)具有兩個或兩個以上邊界面時, 則產(chǎn)生無限多個象電荷, 用這些系列象電荷代替導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷的方法, 稱為系列電象法。

電象法解題思路電象法的理論依據(jù)是唯一性定理, 解題的思想是“等效代替”, 即將所研究的區(qū)域?qū)嶋H邊界上復(fù)雜的未知分布的電荷用區(qū)域外假想的較簡單的電荷分布代替, 使象電荷與原電荷在求解區(qū)域內(nèi)滿足泊松方程, 在邊界上滿足邊值關(guān)系及邊界條件。因此如何確定象電荷的具體位置及大小就成為焦點(diǎn)。

1.正確寫出償試解確定象電荷的位置和大小其關(guān)鍵是要給出正確地的償試解, 要求(1) 物理意義清晰;(2) 把實際上不均勻的介質(zhì)看成均勻介質(zhì)去處理; (3) 注意各項量綱統(tǒng)一。在圖一所示的情形里求空間電勢時, 正確的試探解的形式應(yīng)為:

而不是

2.注意求解區(qū)邊界, 正確運(yùn)用邊界條件邊界的形狀及邊界面上的勢(或電量) 決定了象電荷的大小、位置及個數(shù), 所以確定邊界及邊界條件尤為重要。如圖二所示, 內(nèi)外半徑分別為R 1和R 2的接地導(dǎo)體球殼, 殼外距球心a 處有一點(diǎn)電荷q, 求殼外空間電勢, 此題中殼內(nèi)象電荷是由確定的。若將點(diǎn)電荷置于殼內(nèi)求解殼內(nèi)電勢時(如圖3) , 注意到求解區(qū)邊界為R = R 1 的球面就不難得出殼外象電荷。若導(dǎo)體界面不是球形, 是平面或有其它形狀, 則會得到截然不同的結(jié)果。由此可見不同的邊界條件、不同的界面直接影響象電荷的多少、大小和位置。2

3.深刻領(lǐng)會唯一性定理, 靈活運(yùn)用電象法唯一性定理是電象法的理論依據(jù), 它告訴我們已知求解區(qū)V 內(nèi)自由電荷分布,給定V 的邊界上的勢或則V 內(nèi)勢唯一確定, 對于有導(dǎo)體存在時情形還須在上述條件基礎(chǔ)上再補(bǔ)充一條即已知每個導(dǎo)體體殼帶電量、電勢相等, 因此圖三、四、五 中殼外空間的場分布完全相同, 與殼內(nèi)電荷q1的位置及殼內(nèi)表面的形狀無關(guān), 這是唯一性定理的必然結(jié)果。

總結(jié)：對于導(dǎo)體殼只要?dú)さ耐獠啃螤?、尺寸完全一? 殼的外表面帶電量相同, 殼外空間電荷分布相同, 那么即使內(nèi)部形狀大小、電荷位置不同, 殼外空間的電場是唯一的, 亦即殼外空間的電場完全由殼的外表面(形狀與大小)、外表面電荷以及殼外空間電荷分布決定。同理殼內(nèi)空間的電場完全由殼的內(nèi)表面、內(nèi)表面電荷及殼內(nèi)電荷分布決定。此外, 運(yùn)用電象法還應(yīng)注意象電荷必須是在求解區(qū)域之外, 以及能夠求解問題的局限性, 對于邊界形狀簡單(平面、球面等) 且電荷為點(diǎn)電荷或者2較簡單連續(xù)分布(如直線分布等) 問題較為適合, 對于更復(fù)雜的情況往往很難確定象電荷, 就必須采用其它方法。

應(yīng)用電象法的注意事項電像法求解向題的實質(zhì), 是在求解區(qū)域之外尋找一個虛電荷, 來等效地代替實際導(dǎo)體面或介質(zhì)分界面上的感應(yīng)電荷。值得注意的是： ( 1) 必須在求解區(qū)域以外找。( 2) 這個象電荷是個虛假的電荷, 不是一個與原電荷無關(guān)的獨(dú)立真實電荷. ( 3) 真實電荷是導(dǎo)體面或介質(zhì)分界面上的感應(yīng)電荷, 感應(yīng)電荷的總量并不一定總是等于象電荷. 但是在實際應(yīng)用中, 往往忽視后二點(diǎn), 把象電荷視作為與原電荷無關(guān)的獨(dú)立的真實電荷, 而把等效替代視作為完全代替, 這是不妥當(dāng)?shù)?（4）電象與原電荷之間的互作用能僅僅是把電象換成與它相同的真實電荷的互作用能之半。

易錯點(diǎn)：如一個電偶極子P , 位于無限大導(dǎo)體平面附近, 若要計算它所受到的作用力, 通常是先求出電偶極子P與它的電象P’ 的相互作用能。然后根據(jù), 求出作用力, 這里的是電象P產(chǎn)生的場強(qiáng).但是, 這里把電偶極子與電象的互作用能, 同把電象換成與象完全相同的真實電偶極子時的互作用能, 等同起來了。這是不對的。事實上前者只是后者的一半。有趣的是, 從這二個互作用能, 計算作用力, 所得結(jié)果相同。原因在于, 偶極子與導(dǎo)體面的距離正好是兩個真實偶極子之間距離的一半, 因而虛位移也相差一半。互作用能是一半, 正好相互抵消。故更易引起誤解。根據(jù)同樣的理由, 對于接地的或中性導(dǎo)體球附近的電荷，以及穩(wěn)定磁場中, 用鏡象法求解時, 互作用能也均應(yīng)有因子。僅僅是之差, 就把電象和把電象換成與之相同的真實電荷時的差別, 完全區(qū)分開了. 二者是不同的物理圖象和概念, 決不能混為一談. 因此正確的掌握和運(yùn)用電象法, 必須清晰的了解電像法求解的這類間題的物理圖象和電象法的實質(zhì)。盲目地代用公式, 碰巧又湊對了答案, 往往把問題的本質(zhì)掩蓋了。3