[科普中國(guó)]-降鏈

降鏈條件

數(shù)學(xué)上，偏序集P適合升鏈條件，若任意P的元素的升鏈a1≤a2≤...最終固定，就是說(shuō)存在正整數(shù)n，使得對(duì)所有m>n，有am=an。類似地，P適合降鏈條件，若任意P的元素的降鏈a1≥a2≥...最終固定（就是說(shuō)不存在無(wú)窮降鏈）。

P的升鏈條件等價(jià)于最大條件：所有P的非空子集都有極大元。類似地，降鏈條件等價(jià)于最小條件：所有P的非空子集都有極小元。

所有有限偏序集都適合升鏈和降鏈條件。適合降鏈條件的全序集稱為良序集。

無(wú)窮降鏈給定帶有偏序≤的一個(gè)集合S，無(wú)窮降鏈是鏈V，就是說(shuō)在其上≤定義了全序的S的子集，使得V沒(méi)有最小元素，也就是元素m它使得對(duì)于在V中所有元素n有著m≤n。

作為例子，在整數(shù)的集合中，鏈?1, ?2, ?3, ...是無(wú)窮降鏈，但是在自然數(shù)上沒(méi)有無(wú)窮降鏈，所有自然數(shù)的鏈都有一個(gè)極小元素。

如果偏序集合不包含任何無(wú)窮降鏈，則稱它為良基的。沒(méi)有無(wú)窮降鏈的全序集合是良序的。

良基在數(shù)學(xué)中，類X上的一個(gè)二元關(guān)系R被稱為是良基的，當(dāng)且僅當(dāng)所有X的非空子集都有一個(gè)R-極小元；就是說(shuō)，對(duì)X的每一個(gè)非空子集S，存在一個(gè)S中的元素m使得對(duì)于所有S中的s，二元組 (s,m) 都不在R中。

等價(jià)的說(shuō)，假定某種選擇公理，一個(gè)二元關(guān)系稱為是良基的，當(dāng)且僅當(dāng)它不包含可數(shù)的無(wú)窮降鏈，也就是說(shuō)不存在X的元素的無(wú)窮序列x0,x1,x2, ...使得對(duì)所有的自然數(shù)n有著xn+1Rxn。

在序理論中，一個(gè)偏序關(guān)系稱為是良基的，當(dāng)且僅當(dāng)它對(duì)應(yīng)的嚴(yán)格偏序是良基的。如果這個(gè)序還是全序，那么此時(shí)稱這個(gè)序?yàn)榱夹颉?/p>

在集合論中，一個(gè)集合x(chóng)稱為是一個(gè)良基集合，如果集成員關(guān)系在x的傳遞閉包上是良基的。策梅洛-弗蘭克爾集合論中的正則公理，就是斷言所有的集合都是良基的。

良序在數(shù)學(xué)中，集合S上的良序關(guān)系（或良序）需要滿足：

1.是在S上的全序關(guān)系

2.S的所有非空子集在這個(gè)次序下都存在最小元素。

等價(jià)的說(shuō)，良序是良基的線序。集合S和這個(gè)良序關(guān)系一起就叫做良序集合。

粗略的說(shuō)，良序集合的排序方式，使得我們可以逐次考慮一個(gè)它的元素，而在還沒(méi)有檢視完所有的元素的任何時(shí)候，總是有一個(gè)唯一的下一個(gè)元素可考慮。

性質(zhì)如果 (X,