[科普中國(guó)]-徑向量子數(shù)

概念

在不考慮自旋等內(nèi)坐標(biāo)時(shí)，求解一粒子在中心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，由于力場(chǎng)的球形對(duì)稱性，采用球坐標(biāo) 是方便的。此時(shí)，粒子的定態(tài)薛定諤方程可以通過(guò)分離變量法分成只同 有關(guān)的徑向部分和只同角度變量有關(guān)的角度部分。對(duì)于徑向部分的求解，可以發(fā)現(xiàn)徑向運(yùn)動(dòng)是量子化的。反映徑向運(yùn)動(dòng)量子化的量子數(shù)稱為徑向量子數(shù)。例如，求解氫原子和類氫離子中價(jià)電子的徑向薛定諤方程，發(fā)現(xiàn)徑向含糊 可用一個(gè)量子數(shù) 來(lái)標(biāo)志， 即為徑向量子數(shù)， 。 的取值與系統(tǒng)的能量有關(guān)：

因此在這個(gè)例子中， 也就是這個(gè)系統(tǒng)的主量子數(shù)，此時(shí) 。1

基本原理在原子結(jié)構(gòu)的研究中，電子在核場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的勢(shì)函數(shù)往往是一個(gè)徑向函數(shù)，即

其中第一項(xiàng)為原子核靜電場(chǎng)，為核的原子序數(shù)。第二項(xiàng)是考慮原子內(nèi)殼層電子對(duì)我們所研究的電子的屏蔽影響修正項(xiàng)。為內(nèi)層電子云密度。

因?yàn)閯?shì)函數(shù)僅與有關(guān)，因而可將波函數(shù)分離變量為

將此表示代入定態(tài)薛定諤方程

則得到球坐標(biāo)下的二個(gè)方程

我們從量子力學(xué)教科書(shū)中可以知道：，為角動(dòng)量量子數(shù)。2