[科普中國(guó)]-下三角矩陣

定義

定義：若矩陣L具有下列形式：

則稱為下三角矩陣1。

若矩陣U具有下列形式：

則稱為上三角矩陣。

許多矩陣運(yùn)算保持下三角性不變:

兩個(gè)下三角矩陣的和下三角。

兩個(gè)下三角矩陣的乘積是下三角。

一個(gè)可逆的下三角矩陣的逆是下三角。

下三角矩陣與常數(shù)相乘是一個(gè)下三角矩陣。

以上性質(zhì)對(duì)上三角矩陣也成立。

嚴(yán)格上(下)三角矩陣若上（下）三角矩陣對(duì)角線元素全是1，則稱為嚴(yán)格上（下）三角矩陣。

原子三角矩陣一個(gè)原子下(上)三角矩陣是矩陣的一種特殊形式，所有的地方非對(duì)角元素為零，除了在單個(gè)列的條目。這樣一個(gè)矩陣也被稱為弗羅貝尼烏斯矩陣，高斯矩陣或高斯變換矩陣。即原子下三角矩陣的形式2

一個(gè)原子三角矩陣的逆再次原子三角形。事實(shí)上，我們有

例子 是上三角陣。

是下三角陣

是原子下三角矩陣，其逆為

方程組求解一個(gè)矩陣方程形式 或 很容易解決的一個(gè)迭代過程給出求解。

Lx = b矩陣方程可以寫成一個(gè)線性方程組

其解迭代公式2為

算法下面給出一個(gè)C語言的算法實(shí)現(xiàn)：

public static double[] luEvaluate(double[][] L, double[][] U, double[] b)

{

// Ax = b -> LUx = b. Then y is defined to be Ux

double[] x = new double[b.Length];

double[] y = new double[b.Length];

// Forward solve Ly = b

for (int i = 0; i

{

y[i] = b[i];

for (int j = 0; j

y[i] -= L[i][j] * y[j];

}

y[i] /= L[i][i];

}

// Backward solve Ux = y

for (int i = b.Length - 1; i >= 0; i--)

{

x[i] = y[i];

for (int j = i + 1; j

x[i] -= U[i][j] * x[j];

}

x[i] /= U[i][i];

}

return x;

}