[科普中國]-麥克斯威爾方程

麥克斯韋方程組（英語：Maxwell's equations）是一組描述電場、磁場與電荷密度、電流密度之間關(guān)系的偏微分方程[注 1]。該方程組由四個方程組成，分別是描述電荷如何產(chǎn)生電場的高斯定律、表明磁單極子不存在的高斯磁定律、解釋時變磁場如何產(chǎn)生電場的法拉第感應(yīng)定律，以及說明電流和時變電場怎樣產(chǎn)生磁場的麥克斯韋-安培定律。麥克斯韋方程組是因英國物理學(xué)家詹姆斯·麥克斯韋而命名。麥克斯韋在19世紀(jì)60年代構(gòu)想出這方程組的早期形式。

麥克斯韋方程（英語：Maxwell's equations）是一組描述電場、磁場與電荷密度、電流密度之間關(guān)系的偏微分方程。該方程組由四個方程組成，分別是描述電荷如何產(chǎn)生電場的高斯定律、表明磁單極子不存在的高斯磁定律、解釋時變磁場如何產(chǎn)生電場的法拉第感應(yīng)定律，以及說明電流和時變電場怎樣產(chǎn)生磁場的麥克斯韋-安培定律。麥克斯韋方程組是因英國物理學(xué)家詹姆斯·麥克斯韋而命名。麥克斯韋在19世紀(jì)60年代構(gòu)想出這方程組的早期形式。

在不同的領(lǐng)域會使用到不同形式的麥克斯韋方程組。例如，在高能物理學(xué)與引力物理學(xué)里，通常會用到時空表述的麥克斯韋方程組版本。這種表述建立于結(jié)合時間與空間在一起的愛因斯坦時空概念，而不是三維空間與第四維時間各自獨立展現(xiàn)的牛頓絕對時空概念。愛因斯坦的時空表述明顯地符合狹義相對論與廣義相對論。在量子力學(xué)里，基于電勢與磁勢的麥克斯韋方程組版本比較獲人們青睞。

自從20世紀(jì)中期以來，物理學(xué)者已明白麥克斯韋方程組不是精確規(guī)律，精確的描述需要借助更能顯示背后物理基礎(chǔ)的量子電動力學(xué)理論，而麥克斯韋方程組只是它的一種經(jīng)典場論近似。盡管如此，對于大多數(shù)日常生活中涉及的案例，通過麥克斯韋方程組計算獲得的解答跟精確解答的分歧甚為微小。而對于非經(jīng)典光、雙光子散射、量子光學(xué)與許多其它與光子或虛光子相關(guān)的現(xiàn)象，麥克斯韋方程組不能給出接近實際情況的解答。

從麥克斯韋方程組，可以推論出光波是電磁波。麥克斯韋方程組和洛倫茲力方程是經(jīng)典電磁學(xué)的基礎(chǔ)方程。得益于這一組基礎(chǔ)方程以及相關(guān)理論，許多現(xiàn)代的電力科技與電子科技得以被發(fā)明并快速發(fā)展。

概論麥克斯韋方程組是由四個一階線性偏微分方程共同組成。雖然一階與線性都是良好的數(shù)學(xué)性質(zhì)，除了具有高度對稱性的案例以外，通常找不到它的解析解，因此必須使用數(shù)值方法來找到它的數(shù)值解。但由于電動力學(xué)是一種線性理論，可以利用疊加原理來求解。

高斯定律高斯定律描述電場是怎樣由電荷生成。電場線開始于正電荷，終止于負(fù)電荷。從估算穿過某給定閉曲面的電場線數(shù)量，即電通量，可以得知包含在這閉曲面內(nèi)的總電荷。更詳細(xì)地說，該定律描述穿過任意閉曲面的電通量與這閉曲面內(nèi)的電荷數(shù)量之間的關(guān)系。

高斯磁定律高斯磁定律表明，磁單極子（磁荷）并不存在于宇宙。在實驗方面，物理學(xué)者迄今仍尚未發(fā)現(xiàn)磁單極子存在的明確證據(jù)。由物質(zhì)產(chǎn)生的磁場是被一種稱為偶極子的位形所生成。磁偶極子最好是用電流回路來表示。磁偶極子好似不可分割地被束縛在一起的正磁荷和負(fù)磁荷，其凈磁荷為零。磁場線沒有初始點，也沒有終止點。磁場線會形成循環(huán)或延伸至無窮遠(yuǎn)。換句話說，進(jìn)入任何區(qū)域的磁場線，也必須從那區(qū)域離開。以術(shù)語來說，通過任意閉曲面的磁通量等于零，磁場是一個螺線矢量場。

法拉第感應(yīng)定律法拉第感應(yīng)定律描述隨時間變化的磁場怎樣生成（感應(yīng)出）電場。電磁感應(yīng)是許多發(fā)電機的運作原理。例如，一塊旋轉(zhuǎn)的條形磁鐵會產(chǎn)生時變磁場，這又會生成電場，使得鄰近的閉循環(huán)因而感應(yīng)出電流。

方程組匯覽這里展示出麥克斯韋方程組的兩種等價表述：微觀表述與宏觀表述。

微觀表述專門計算在真空里原子尺度的有限源電荷與有限源電流所產(chǎn)生的電場與磁場。物質(zhì)可以視為由點電子與點原子核所組成，而內(nèi)部其它大部分空間都是真空。但是，由于電子與原子核的數(shù)量很大，實際而言，無法一一納入計算。事實上，經(jīng)典電磁學(xué)也不需要過度精確的答案。使用微觀麥克斯韋方程組有兩個主要目的，一是推導(dǎo)出宏觀麥克斯韋方程組，二是從原子性質(zhì)估算出宏觀物質(zhì)參數(shù)，例如電容率、磁導(dǎo)率等等。微觀表述可以給出很多宏觀表述所無法給出的極具價值的信息。

宏觀表述不將物質(zhì)內(nèi)部的原子結(jié)構(gòu)納入考量，而是將物質(zhì)視為一種連續(xù)性介質(zhì)，其性質(zhì)決定于電容率、磁導(dǎo)率等等宏觀物質(zhì)參數(shù)。從做實驗可以獲得宏觀物質(zhì)參數(shù)與物質(zhì)的本質(zhì)、密度、溫度等等的關(guān)系。宏觀麥克斯韋方程組可以用來預(yù)測帶電粒子、電場與磁場的平均性質(zhì)。采用這種表述會使得在介電質(zhì)或磁化物質(zhì)內(nèi)各種物理計算更加簡易。

采用不同的單位制，麥克斯韋方程組的形式會稍微有所改變，大致形式仍舊相同，只是不同的常數(shù)會出現(xiàn)在方程內(nèi)部不同位置。國際單位制(SI)是最常使用的單位制，在工程學(xué)、化學(xué)領(lǐng)域大多都采用這種單位制，大學(xué)物理教科書也幾乎都使用這種單位制。其它常用的單位制有高斯單位制、洛倫茲-亥維賽單位制和普朗克單位制。由厘米-克-秒制衍生的高斯單位制，比較適合于教學(xué)用途，能夠使得方程看起來更簡單、更易懂。稍后會詳細(xì)闡述高斯單位制。洛倫茲-亥維賽單位制也是衍生于厘米-克-秒制，主要用于粒子物理學(xué)。普朗克單位制是一種自然單位制，其單位都是根據(jù)大自然的性質(zhì)定義，不是由人為設(shè)定。普朗克單位制是研究理論物理學(xué)非常有用的工具，能夠在理論論述里給出很大的啟示。

在本條目里，除非特別指出，所有方程都采用國際單位制。

數(shù)學(xué)性質(zhì)麥克斯韋方程組形似超定組：它只涉及到六個未知量（矢量電場、磁場各擁有三個未知量，電流與電荷不是未知量，而是自由設(shè)定并符合電荷守恒的物理量），但卻是由八個方程所組成（兩個高斯定律共有兩個方程，法拉第定律與麥克斯韋-安培定律各有三個方程）。經(jīng)過仔細(xì)分析，即可明白，實際上并不是這么簡單。1

麥克斯韋方程組的方程具有“獨立性”──從方程組內(nèi)的任何一個或多個方程，都不能推導(dǎo)出方程組內(nèi)的任何其它方程。這意味著麥克斯韋方程組不是超定組，其內(nèi)中沒有重復(fù)任何功能的方程。麥克斯韋方程組、洛侖茲力方程與牛頓第二運動定律總合起來具有“完備性”，他們可以說明所有經(jīng)典電動力學(xué)的現(xiàn)象，不需要使用到任何其它方程。在某區(qū)域內(nèi)，給定適當(dāng)?shù)某跏紬l件與邊界條件，則麥克斯韋方程組的解答具有“唯一性”，即每一個應(yīng)變量只能有一種函數(shù)形式，其內(nèi)部只含有常數(shù)或自變量，不含有任何其它應(yīng)變量。

法拉第定律與麥克斯韋-安培定律共同主導(dǎo)著在空間內(nèi)電磁場隨著時間流易的演化，而高斯定律與高斯磁定律則是約束方程，電磁場必須在所有時間與空間遵守這兩個約束方程。理論而言，可以假設(shè)某種電磁場在所有空間服從法拉第定律與麥克斯韋-安培定律的指揮，反之，如果他們不遵守高斯定律與高斯磁定律的約束，則它們無法實際存在于真實世界。換句話說，法拉第定律與麥克斯韋-安培定律會給出額外的解答，其不符合高斯定律與高斯磁定律的約束。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王沛 - 副教授、副研究員 - 中國科學(xué)院工程熱物理研究所