肥婆老熟妇精品视频在线,孩交精品乱子片

取定圖G的一個(gè)子圖族F，對(duì)其中每一個(gè)子圖α∈F，賦以某一整環(huán)R中之元 wα，作為它的度量，這樣一個(gè)具有度量的子圖族F便稱為“覆蓋單元集”；其中每一個(gè)子圖α 稱為“(覆蓋)單元”。當(dāng)G為無(wú)向圖，F(xiàn)由G的一切連通子圖所構(gòu)成時(shí)，圖G在F之下的點(diǎn)覆蓋多項(xiàng)式稱為“子圖多項(xiàng)式”，而當(dāng)單元α∈F的度量w(α)不同時(shí)，可得一些特殊的多項(xiàng)式，例如雙色多項(xiàng)式、秩多項(xiàng)式、色多項(xiàng)式等。

基本介紹考察有向(無(wú)向)簡(jiǎn)單圖，其中，必要時(shí)也可以考慮有自環(huán)(loop)的有向圖，今后分別以V(S)及E(S)表示子圖S的頂點(diǎn)集及邊集；記號(hào) 表示子圖的并運(yùn)算。

相關(guān)定義定義1取定圖G的一個(gè)子圖族；對(duì)其中每一個(gè)子圖，賦以某一整環(huán)R中之元，作為它的度量，這樣一個(gè)具有度量的子圖族便稱為“覆蓋單元集”；其中每一個(gè)子圖α稱為“(覆蓋)單元”。

定義2對(duì)于不含全不連通子圖的覆蓋單元集而言，圖G的一個(gè)“邊覆蓋”，是指由若干個(gè)無(wú)公共邊的單元所組成的集合，使得

換言之，構(gòu)成邊集E(G)的一個(gè)劃分。

**定義2’**對(duì)給定的覆蓋單元集而言，圖G的一個(gè)“點(diǎn)覆蓋”，是指由若干個(gè)無(wú)公共頂點(diǎn)的單元所組成的集合，使得

換言之，構(gòu)成頂點(diǎn)集V(G)的一個(gè)劃分。

邊(點(diǎn))覆蓋多項(xiàng)式定義3對(duì)給定的覆蓋單元集，設(shè)圖G所有邊(點(diǎn))覆蓋所構(gòu)成的集族為，對(duì)每一覆蓋，賦以一個(gè)單項(xiàng)式

進(jìn)而對(duì)圖G賦以一個(gè)多項(xiàng)式

這個(gè)P(G)便稱為圖G在之下的“邊(點(diǎn))覆蓋多項(xiàng)式”。

下文始終采取“空和為零，空積為1“的習(xí)慣約定，因此，當(dāng) 時(shí)，P(G)=0，當(dāng)G= (空?qǐng)D)時(shí)，只有一個(gè)覆蓋；而，所以。其次，在邊覆蓋多項(xiàng)式的情況，增減一些孤立頂點(diǎn)時(shí)邊覆蓋不變，因而多項(xiàng)式亦不變；故此時(shí)不妨假定圖G并無(wú)孤立頂點(diǎn)1。

子圖多項(xiàng)式的定義當(dāng)G為無(wú)向圖，由G的一切連通子圖所構(gòu)成時(shí)，圖G在之下的點(diǎn)覆蓋多項(xiàng)式稱為“子圖多項(xiàng)式”，而當(dāng)單元的度量不同時(shí)，可得一些特殊的多項(xiàng)式，例如：

(1°) 對(duì)每一單元，賦以度量，其中為連通子圖α的圈秩，那么圖G在這種覆蓋意義下的多項(xiàng)式

就是雙色多項(xiàng)式，其中p(S)及q(S)分別表示由S的單元的并所構(gòu)成的支撐子圖的分圖數(shù)及圈秩。

(2°) 若令，其中為連通子圖α的秩，則

就是秩多項(xiàng)式，其中，表示由S所成的支撐子圖的秩。

(3°) 若令，其中為連通子圖α的邊數(shù)，則

就是色多項(xiàng)式，事實(shí)上，記，并以表示H的生成子圖的秩，則上式可改寫為

這就是色多項(xiàng)式的展開式(極易由容斥原理推出)。

相關(guān)概念圈多項(xiàng)式在無(wú)向圖的情況，設(shè) 由G中所有的K1(一點(diǎn)生成子圖)、K2(一邊生成子圖)及初級(jí)圈(點(diǎn)數(shù)≥3)所構(gòu)成，R為實(shí)數(shù)域上的多項(xiàng)式環(huán)，由此產(chǎn)生出的點(diǎn)覆蓋多項(xiàng)式通常稱為“圈多項(xiàng)式”，特別當(dāng)單元K1的度量為 (未定元)，K2的度量為-1，其它初級(jí)圈的度量為-2時(shí)，點(diǎn)覆蓋多項(xiàng)式就是熟知的特征多項(xiàng)式，其中p(S)為S中有邊的單元數(shù)，q(S)為S中的圈數(shù)。

匹配多項(xiàng)式設(shè) 由G中所有子圖K1及K2所構(gòu)成，它們的度量分別為x及y，由這種單元組成的點(diǎn)覆蓋S就是圖G的“匹配”(matching)；它對(duì)應(yīng)的單項(xiàng)式為，其中為S中單元K2的數(shù)目(邊數(shù))，于是

就是圖G的匹配多項(xiàng)式，其中為k邊匹配的數(shù)目1。

相關(guān)定理設(shè)圖G= (V，E)在單元集之下的邊(點(diǎn))覆蓋多項(xiàng)式為P(G)，下面將給出這兩類多項(xiàng)式的一般消去定理。

定義4對(duì)任意的頂點(diǎn)子集及邊子集，二元組稱為G的“偽子圖”。

當(dāng) 中每條邊所關(guān)聯(lián)的頂點(diǎn)均屬于時(shí)，就是通常意義的子圖，將簡(jiǎn)記為。

定義5給定G的一個(gè)偽子圖H，圖G關(guān)于H的部分邊(點(diǎn)) 覆蓋SH，是指由若干個(gè)無(wú)公共邊(點(diǎn))的單元所組成的集合，這些單元的并包含了H的全部頂點(diǎn)和邊，且每個(gè)單元都至少含有H的一個(gè)頂點(diǎn)或一條邊。

對(duì)于圖G的一個(gè)邊(點(diǎn))覆蓋S 而言，如果S覆蓋著H的點(diǎn)和邊，則將S 中含有H的頂點(diǎn)或邊的單元取出來(lái)，這樣構(gòu)成的子集SH一定是關(guān)于H的部分覆蓋，即有，但反過(guò)來(lái)說(shuō)，一個(gè)部分覆蓋卻不一定能成為某個(gè)覆蓋的子集(它未必能添上一些單元后構(gòu)成G的覆蓋)。

定義6對(duì)部分邊(點(diǎn))覆蓋而言，其相應(yīng)的單項(xiàng)式定義為

特別當(dāng) ，因而時(shí)，。

此外，我們記。

現(xiàn)在，分兩種情況討論。

邊覆蓋多項(xiàng)式的消去定理

定義7一個(gè)關(guān)于H的部分邊覆蓋SH稱為極大的，如果不存在以它為真子集的另一個(gè)關(guān)于H的部分邊覆蓋。

命題對(duì)任一個(gè)邊覆蓋，由其中所有含有H的頂點(diǎn)或邊的單元所構(gòu)成的部分邊覆蓋SH一定是極大的。

**證明：**設(shè) 是按上述方式導(dǎo)出的部分邊覆蓋，那么H中的邊( )及H中的頂點(diǎn)所關(guān)聯(lián)的邊( 的端點(diǎn) )均被SH的單元所覆蓋；而任一單元均非孤立點(diǎn)，所以不存在這樣的單元，它與SH的單元無(wú)公共邊而又包含H的頂點(diǎn)或邊，故SH為極大的。