[科普中國(guó)]-阿培里常數(shù)

在數(shù)學(xué)中，阿培里常數(shù)是一個(gè)時(shí)常會(huì)遇到的常數(shù)。在一些物理問(wèn)題中阿培里常數(shù)也會(huì)很自然地出現(xiàn)。比如說(shuō)量子電動(dòng)力學(xué)里，阿培里常數(shù)出現(xiàn)在電子的磁旋比展開(kāi)的第二項(xiàng)與第三項(xiàng)中。

阿培里常數(shù)的準(zhǔn)確定義是黎曼ζ函數(shù)的一個(gè)值：ζ(3)。

簡(jiǎn)介在數(shù)學(xué)中，阿培里常數(shù)是一個(gè)時(shí)常會(huì)遇到的常數(shù)。在一些物理問(wèn)題中阿培里常數(shù)也會(huì)很自然地出現(xiàn)。比如說(shuō)量子電動(dòng)力學(xué)里，阿培里常數(shù)出現(xiàn)在電子的磁旋比展開(kāi)的第二項(xiàng)與第三項(xiàng)中。

阿培里常數(shù)的準(zhǔn)確定義是黎曼ζ函數(shù)的一個(gè)值：ζ(3)：

它的前45位準(zhǔn)確數(shù)字為：（Wedeniwski 2001）

ζ(3) =1.202056903159594285399738161511449990764986292... （OEIS中的數(shù)列A002117）.

這個(gè)常數(shù)的倒數(shù)也是一個(gè)有意義的常數(shù)：考慮任意三個(gè)隨機(jī)抽取的正整數(shù)，它們之間互素的概率正是阿培里常數(shù)的倒數(shù)。1

阿培里定理事實(shí)上，黎曼ζ函數(shù)在偶數(shù)上的取值是容易求得的，在奇數(shù)上的取值則遠(yuǎn)未有一般性成果。這個(gè)常數(shù)以數(shù)學(xué)家羅杰·阿培里命名，因?yàn)楹笳咴?978年證明了它是一個(gè)無(wú)理數(shù)。這個(gè)結(jié)論被稱為阿培里定理。最初的證明很長(zhǎng)，而且晦澀難懂，幸好不久后發(fā)現(xiàn)了更為簡(jiǎn)潔的證明，只需要用到勒讓德多項(xiàng)式?，F(xiàn)在還不能確定阿培里常數(shù)是否是超越數(shù)。

近來(lái)的研究表明，黎曼ζ函數(shù)在無(wú)窮多個(gè)奇數(shù)上的取值都是無(wú)理數(shù)，并且ζ(5)、ζ(7)、ζ(9)和ζ(11)之中至少有一個(gè)是無(wú)理數(shù)。2

級(jí)數(shù)表示1772年，萊昂哈德·歐拉證明了一個(gè)關(guān)于ζ(3)的級(jí)數(shù)表示：

這個(gè)結(jié)果后來(lái)又多次被其他人獨(dú)立發(fā)現(xiàn)。

在當(dāng)代，西蒙·普勞夫給出了一系列級(jí)數(shù)，使得運(yùn)用它們能夠精確地計(jì)算出阿培里常數(shù)的第n位小數(shù)的數(shù)值，而不需要求出它的前n ? 1位小數(shù)。其中有：

以及：

已知數(shù)字和不少數(shù)學(xué)常數(shù)一樣，近幾十年來(lái)，阿培里常數(shù)的數(shù)值計(jì)算經(jīng)歷了驚人的進(jìn)展。這一方面是由于計(jì)算機(jī)計(jì)算能力的快速提高，另一方面也是因?yàn)椴粩嘤懈玫乃惴ū徽业健?998年，布拉德赫斯特發(fā)現(xiàn)了一種能夠在線性時(shí)間內(nèi)計(jì)算阿培里常數(shù)的二進(jìn)制數(shù)值的方法，并且只需要用到對(duì)數(shù)規(guī)模的儲(chǔ)存空間。3

|| || 表1.阿培里常數(shù)ζ(3)的已知數(shù)值位數(shù)

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)