[科普中國]-愛因斯坦-嘉當(dāng)理論

愛因斯坦-嘉當(dāng)理論（英語：Einstein-Cartan theory）是理論物理學(xué)中將廣義相對(duì)論延伸以正確處理自旋角動(dòng)量。此理論以物理學(xué)家阿爾伯特·愛因斯坦以及埃利·嘉當(dāng)（élie Cartan)為名。

作為經(jīng)典物理中的主要理論，廣義相對(duì)論卻有一個(gè)缺點(diǎn)：其無法描述“自旋軌道耦合”（spin-orbit coupling），亦即內(nèi)稟角動(dòng)量（intrinsic angular momentum）（自旋）與軌道角動(dòng)量（orbital angular momentum）間的交換。存在有定量的理論證明，其顯示：當(dāng)物體具有自旋性質(zhì)時(shí)，廣義相對(duì)論必須要擴(kuò)充成愛因斯坦-嘉當(dāng)理論。

歷史自從愛因斯坦將牛頓引力理論推廣為廣義相對(duì)論（愛因斯坦引力理論）以來，愛因斯坦引力理論經(jīng)受了嚴(yán)格的實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)，取得了巨大的成功。隨著實(shí)驗(yàn)觀察數(shù)據(jù)的積累，愛因斯坦引力理論遇到了許多困難。Ia型超新星觀察數(shù)據(jù)表明宇宙是加速膨脹的，為了在愛因斯坦引力理論中說明宇宙的加速膨脹現(xiàn)象，必須引入具有負(fù)壓的暗能量，而暗能量的觀察密度卻與量子場(chǎng)論的估計(jì)值相差 倍。用光度資料測(cè)得的星系質(zhì)量無法說明星系旋轉(zhuǎn)曲線，為了在愛因斯坦引力理論（牛頓引力理論）中說明此現(xiàn)象，必須引入占星系質(zhì)量為96%的暗物質(zhì)，暗物質(zhì)在星系中的分布情況卻難以用現(xiàn)有的物理理論說明。美國的先鋒號(hào)宇宙飛船在遠(yuǎn)離太陽時(shí)受到了無法用愛因斯坦引力理論（牛頓引力理論）及其它物理效應(yīng)說明的指向太陽的微小引力，后來物理學(xué)家仔細(xì)研究了其它宇宙飛船也發(fā)現(xiàn)了不能用愛因斯坦引力理論（牛頓引力理論）及其它物理效應(yīng)說明的微小作用力，這種宇宙飛船軌道異?，F(xiàn)象強(qiáng)烈的表明：愛因斯坦引力理論具有缺陷。

利用標(biāo)準(zhǔn)的正則量子化方法和路徑積分方法將愛因斯坦引力理論進(jìn)行量子化得到了不能重整化的結(jié)果，這宣告了愛因斯坦引力理論的標(biāo)準(zhǔn)量子化的失敗。雖然圈量子化方法取得了一定的成果，但圈量子化是否具有愛因斯坦引力理論極限卻沒有證明。粒子物理學(xué)的理論也取得了一定成果，但仍未得到一個(gè)可重整化的量子引力理論。愛因斯坦引力理論的量子化困難提示我們：愛因斯坦引力理論可能存在缺陷。

為了清晰的描述愛因斯坦引力理論的物理圖像，我們需要用正交標(biāo)架場(chǎng)來改寫愛因斯坦引力理論。

當(dāng)將愛因斯坦引力理論與狄拉克電子理論作比較研究時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)：愛因斯坦引力理論與狄拉克電子理論不相容。由于狄拉克電子理論的實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)精度遠(yuǎn)大于愛因斯坦引力理論的實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)精度，因此我們有理由認(rèn)為：愛因斯坦引力理論具有缺陷。

通過將愛因斯坦引力理論推廣為有撓時(shí)空中的愛因斯坦-嘉當(dāng)引力-自旋場(chǎng)理論，我們可以消除愛因斯坦引力理論與狄拉克電子理論之間的矛盾。因此可以認(rèn)為愛因斯坦-嘉當(dāng)引力-自旋場(chǎng)理論是比愛因斯坦引力理論更加接近真理的引力理論。利用愛因斯坦-嘉當(dāng)引力-自旋場(chǎng)理論可以在不引入暗能量的情形下解釋飛船軌道異常和宇宙加速膨脹，也可以說明星系暗物質(zhì)的分布情況。愛因斯坦-嘉當(dāng)引力-自旋場(chǎng)理論預(yù)言：磁化物質(zhì)之間除了有磁場(chǎng)作用力外還應(yīng)存在附加的自旋-自旋作用力。1

動(dòng)機(jī)廣義相對(duì)論無法描述自旋軌道耦合的理由根源于黎曼幾何，而廣義相對(duì)論是建構(gòu)于其上。在黎曼幾何中，里奇曲率張量（Ricci curvature tensor） 必須是a與b對(duì)稱的（亦即， ）。因此愛因斯坦曲率張量(Einstein curvature tensor) 定義為

也必須是對(duì)稱的。在廣義相對(duì)論中，愛因斯坦曲率張量為局域重力建構(gòu)了模型，且其（透過重力常數(shù)的聯(lián)系）等同于應(yīng)力-能量張量或能量-動(dòng)量張量 （此處我們將能量-動(dòng)量張量表示為P，是因?yàn)閺V義相對(duì)論中常用來表示能量-動(dòng)量張量的T在愛因斯坦-嘉當(dāng)理論留給仿射扭率(affine torsion)。）愛因斯坦曲率張量的對(duì)稱性強(qiáng)迫動(dòng)量張量必須是對(duì)稱的。然而，當(dāng)自旋與軌道角動(dòng)量進(jìn)行交換時(shí)，根據(jù)角動(dòng)量守恒的廣義式，則知?jiǎng)恿繌埩繛椴粚?duì)稱的。

自旋流(spin current)之散度——

細(xì)節(jié)請(qǐng)參考自旋張量(spin tensor)條目。

因此廣義相對(duì)論無法適當(dāng)?shù)貫樽孕壍礼詈辖?gòu)模型。

于1922年，埃利·嘉當(dāng)提出猜想認(rèn)為廣義相對(duì)論應(yīng)該被延伸成包括仿射扭率(affine torsion)，其允許里奇張量可以是不對(duì)稱的。雖然自旋-軌道耦合是重力物理學(xué)中相對(duì)次要的現(xiàn)象，愛因斯坦–嘉當(dāng)理論則相當(dāng)重要，因?yàn)?/p>

(1) 其顯示出仿射理論，而非度規(guī)理論，對(duì)于重力能提供更好的描述；

(2) 其解釋仿射扭率的意義，在一些量子引力理論中自然出現(xiàn)；

(3) 其將自旋詮釋為仿射扭率，在幾何意義上是時(shí)空介質(zhì)(spacetime medium)之位錯(cuò)場(chǎng)(field of dislocations)的一項(xiàng)連續(xù)近似。

將黎曼幾何擴(kuò)充以包含了仿射扭率則稱為黎曼-嘉當(dāng)幾何(Riemann–Cartan geometry)。1

幾何與表示式時(shí)空物理學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是仿射微分幾何(affine differential geometry)，其中我們賦予n維微分流形M 一項(xiàng)沿著M上路徑對(duì)矢量作平行移動(dòng)的定律。（一微分流形的每個(gè)點(diǎn)，我們都有切矢量所組成的一個(gè)線性空間，不過我們無法將矢量移動(dòng)到其他點(diǎn)，或是去比較M上位于不同兩點(diǎn)上的矢量。）平行移動(dòng)保存了矢量間的線性關(guān)系；也就是說，若兩矢量 與 在M上同一點(diǎn)，沿著一曲線被平行移動(dòng)成為矢量 與 ，則兩者的線性組合

也平行移動(dòng)為

仿射微分幾何中的平行性(Parallelism)是路徑相依(path-dependent)的；也就是說，如果沿著同起點(diǎn)與同終點(diǎn)之兩相異路徑平行移動(dòng)一矢量，在終點(diǎn)所得的結(jié)果矢量一般來說是相異的。這樣的差異本質(zhì)上即為曲率的影響，而曲率在微分幾何中是個(gè)中心概念。2

愛因斯坦-嘉當(dāng)引力理論簡介用標(biāo)架場(chǎng)重寫愛因斯坦引力理論用標(biāo)架場(chǎng) 代替度規(guī)場(chǎng) ，我們可以得到用標(biāo)架場(chǎng) （僅考慮內(nèi)稟坐標(biāo)系變換是整體Lorentz變換）表示的兩種等價(jià)形式的推廣的愛因斯坦引力場(chǎng)運(yùn)動(dòng)方程為：

（1）引力場(chǎng)運(yùn)動(dòng)方程第一形式：

（2）引力場(chǎng)運(yùn)動(dòng)方程第二形式：

其中：

當(dāng) 時(shí)，由引力場(chǎng)運(yùn)動(dòng)方程的第二形式得到愛因斯坦引力場(chǎng)運(yùn)動(dòng)方程：

與狄拉克電子理論之間的矛盾考慮電子與引力的作用時(shí)，我們需要引入標(biāo)架仿射聯(lián)絡(luò) 。在黎曼時(shí)空中，存在關(guān)系式：

標(biāo)架場(chǎng)與標(biāo)架仿射聯(lián)絡(luò)不獨(dú)立。 因此，黎曼時(shí)空中的電子場(chǎng)、電磁場(chǎng)及引力場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)才方程為：

(1)電子場(chǎng)運(yùn)動(dòng)方程：

(2)電磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)方程：

(3)引力場(chǎng)運(yùn)動(dòng)方程：

根據(jù)電子場(chǎng)運(yùn)動(dòng)方程得到能量-動(dòng)量流運(yùn)動(dòng)方程為：

根據(jù)引力場(chǎng)運(yùn)動(dòng)方程得到能量-動(dòng)量流運(yùn)動(dòng)方程為：

上述結(jié)果表明，從電子場(chǎng)運(yùn)動(dòng)方程得到的能量-動(dòng)量流運(yùn)動(dòng)方程與從引力場(chǎng)運(yùn)動(dòng)方程得到的能量-動(dòng)量流運(yùn)動(dòng)方程是不相容的。3

應(yīng)用解釋宇宙加速膨脹

解釋先鋒異常

解釋星系轉(zhuǎn)動(dòng)曲線

預(yù)言帶電物體周圍的引力異常

預(yù)言日月食的引力異常

參見ECT理論-牛頓引力理論

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)