[科普中國]-Onsager變分原理

Onsager變分原理即變分原理，是物理學(xué)的一條基本原理，以變分法來表達(dá)。

根據(jù)科內(nèi)利烏斯·蘭佐斯的說法，任何可以用變分原理來表達(dá)的物理定律描述一種自伴的表示。這種表示也被說成是埃爾米特的，描述了在埃爾米特變換下的不變量。

菲利克斯·克萊因的愛爾蘭根綱領(lǐng)試圖鑒識(shí)這類在一組變換下的不變量。在物理學(xué)的諾特定理中，一組變換的龐加萊群（現(xiàn)在廣義相對(duì)論中被稱為規(guī)范群）定義了在一組依賴于變分原理的變換下的對(duì)稱性，即作用原理。

拉斯·昂薩格拉斯·昂薩格（挪威語：Lars Onsager，1903年11月27日－1976年10月5日），挪威出生的美國化學(xué)家。他因發(fā)現(xiàn)非平衡態(tài)熱力學(xué)的一般關(guān)系，提出了倒易關(guān)系而獲得1968年諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)。

拉斯·昂薩格1903年出生于挪威奧斯陸。1925年，他取得挪威理工學(xué)院化學(xué)工程學(xué)學(xué)位，并于同年前往當(dāng)時(shí)歐洲物理化學(xué)研究的中心——瑞士蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院從事電解質(zhì)溶液的研究。1928年，昂薩格轉(zhuǎn)往美國，開始在霍普金斯大學(xué)擔(dān)任教職。1929年，由于教學(xué)成績欠佳，昂薩格被霍普金斯大學(xué)解聘，被迫前往布朗大學(xué)。他于1935年在耶魯大學(xué)完成博士論文并與1945年成為耶魯大學(xué)教授。1976年去世于佛羅里達(dá)州邁阿密。1

變分法變分法是處理泛函的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，和處理函數(shù)的普通微積分相對(duì)。譬如，這樣的泛函可以通過未知函數(shù)的積分和它的導(dǎo)數(shù)來構(gòu)造。變分法最終尋求的是極值函數(shù)：它們使得泛函取得極大或極小值。有些曲線上的經(jīng)典問題采用這種形式表達(dá)：一個(gè)例子是最速降線，在重力作用下一個(gè)粒子沿著該路徑可以在最短時(shí)間從點(diǎn)A到達(dá)不直接在它底下的一點(diǎn)B。在所有從A到B的曲線中必須極小化代表下降時(shí)間的表達(dá)式。

變分法的關(guān)鍵定理是歐拉－拉格朗日方程。它對(duì)應(yīng)于泛函的臨界點(diǎn)。在尋找函數(shù)的極大和極小值時(shí)，在一個(gè)解附近的微小變化的分析給出一階的一個(gè)近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。

變分法在理論物理中非常重要：在拉格朗日力學(xué)中，以及在最小作用量原理在量子力學(xué)的應(yīng)用中。變分法提供了有限元方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，它是求解邊界值問題的強(qiáng)力工具。它們也在材料學(xué)中研究材料平衡中大量使用。而在純數(shù)學(xué)中的例子有，黎曼在調(diào)和函數(shù)中使用狄利克雷原理。

同樣的材料可以出現(xiàn)在不同的標(biāo)題中，例如希爾伯特空間技術(shù)，莫爾斯理論，或者辛幾何。變分一詞用于所有極值泛函問題。微分幾何中的測地線的研究是很顯然的變分性質(zhì)的領(lǐng)域。極小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，稱為普拉托問題。2

具體請參見變分法。

實(shí)例幾何光學(xué)中的費(fèi)馬原理；

力學(xué)中的最小作用量原理，電磁理論，及量子力學(xué)；

根據(jù)斯蒂芬·沃爾夫勒姆的說法，愛因斯坦場方程也涉及一個(gè)變分原理，作為愛因斯坦-希爾伯特作用量的約束。3

量子力學(xué)中的變分原理假設(shè)你想計(jì)算一個(gè)哈密頓量為H的體系的基態(tài)能量Egs，換句話說，已經(jīng)知道體系的哈密頓算符H。如果不能解薛定諤方程來找出波函數(shù)，可以任意猜測一個(gè)歸一化的波函數(shù)，比如說φ，結(jié)果是根據(jù)猜測的波函數(shù)得到的哈密頓算符的期望值將會(huì)高于實(shí)際的基態(tài)能量。換言之：

這對(duì)于所猜測的任何φ都適用。

證明任一個(gè)波函數(shù)φ都可以展開為哈密頓算符的實(shí)際本征函數(shù)的線性組合（我們假定這些本征函數(shù)是正交歸一的）：

那么，哈密頓算符的期望值是：

如果把替換成基態(tài)能量，從求和公式中提出來，那么等號(hào)變成大于等于號(hào)。亦即：

推廣給定一個(gè)描述所研究的體系的哈密頓算符H和任意可歸一化的并帶有適當(dāng)體系未知波函數(shù)參數(shù)的函數(shù)Ψ，我們定義泛函：

那么變分原理說明：，式中是該哈密頓算符的具有最低能量的本征態(tài)（基態(tài)）。當(dāng)且僅當(dāng)確切地等同于研究體系的基態(tài)。

上述變分原理是變分法的基本原理，用于量子力學(xué)和量子化學(xué)來近似求解體系基態(tài)。4

參見作用原理

物理學(xué)史

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

陳紅 - 副教授 - 西南大學(xué)