[科普中國(guó)]-托里拆利點(diǎn)

在三角形的三邊各向其外側(cè)作等邊三角形，這三個(gè)等邊三角形的外接圓交于一點(diǎn)T，該點(diǎn)T即稱為托里拆利點(diǎn)（Torricelli's point ），而三個(gè)等邊三角形的外接圓稱為托里拆利圓。在一定條件下，托里拆利點(diǎn)和正等角中心、費(fèi)爾馬點(diǎn)等是一回事。托里拆利點(diǎn)是由意大利物理學(xué)家托里拆利發(fā)現(xiàn)的1。該問(wèn)題是費(fèi)馬(1601-1665)作為“求一點(diǎn)，使它至一三角形三頂點(diǎn)的距離和最小"這一著名的極值問(wèn)題而向意大利物理學(xué)家托里拆利(1608-1647)提出，并為托里拆利所解決的，當(dāng)三角形內(nèi)角均小于120°時(shí)點(diǎn)K即為所求，故稱K為托里拆利點(diǎn)，也稱費(fèi)馬點(diǎn)。以后，德國(guó)斯太納((1796-1863)獨(dú)立提出并推廣了它，故又稱斯太納問(wèn)題2。

基本介紹在 的外側(cè)分別作正三角形 ，這三個(gè)正三角形的外接圓(托里拆利圓)相交于一點(diǎn)M，則點(diǎn)M稱為托里拆利點(diǎn)。三個(gè)內(nèi)角皆小于120°的 的托里拆利點(diǎn)有如下特性：它到 三頂點(diǎn)的距離之和AM+BM+CM是三角形內(nèi)點(diǎn)中到三頂點(diǎn)距離之和中最小的。

意大利學(xué)者托里拆利(E.Torricelli，1608-1647)，首先研究了托里拆利點(diǎn)的問(wèn)題，因而得名。

在一定條件下，托里拆利點(diǎn)和正等角中心、費(fèi)爾瑪點(diǎn)是同一點(diǎn)，只不過(guò)提出的角度不同。托里拆利點(diǎn)是從共點(diǎn)圓方面提出，正等角中心是從共點(diǎn)線方面提出，費(fèi)爾瑪點(diǎn)則是從幾何極值方面提出的。

相關(guān)介紹

費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題最早是由法國(guó)數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費(fèi)馬在一封寫(xiě)給意大利數(shù)學(xué)家埃萬(wàn)杰利斯塔·托里拆利（氣壓計(jì)的發(fā)明者）的信中提出的。托里拆利最早解決了這個(gè)問(wèn)題，而19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家斯坦納重新發(fā)現(xiàn)了這個(gè)問(wèn)題，并系統(tǒng)地進(jìn)行了推廣，因此這個(gè)點(diǎn)也稱為托里拆利點(diǎn)或斯坦納點(diǎn)，相關(guān)的問(wèn)題也被稱作費(fèi)馬-托里拆利-斯坦納問(wèn)題。這一問(wèn)題的解決極大推動(dòng)了聯(lián)合數(shù)學(xué)的發(fā)展，在近代數(shù)學(xué)史上具有里程碑式的意義。

相關(guān)例題分析例1 在 的邊上向形外(形內(nèi))作正 ，

證明：直線 相交于一點(diǎn)，并求這個(gè)點(diǎn)的三線性坐標(biāo)。

這個(gè)點(diǎn)叫做第一(第二)等角中心，第一等角中心也稱做托里拆利點(diǎn)或費(fèi)馬****點(diǎn)。

提示 點(diǎn) 具有三線性坐標(biāo) ，其中上面的符號(hào)對(duì)應(yīng)向外作三角形，下面的符號(hào)對(duì)應(yīng)向內(nèi)作三角形，所以直線 用方程 給出，因此三線性坐標(biāo)為

的點(diǎn)是直線 的交點(diǎn)3。

相關(guān)介紹**《將軍巡營(yíng)》解**

三座兵營(yíng)分別設(shè)置在大片開(kāi)闊地的三處，將軍經(jīng)常要去巡視。他從自己的指揮所出發(fā)，到達(dá)第一兵營(yíng)后回到指揮所；再去到第二兵營(yíng)后回到指揮所；最后又去到第三兵營(yíng)后回到指揮所。一天，他忽然想到要把指揮所搬到少走路程的地方，卻拿不定主意，不知指揮所應(yīng)放在哪兒才合適4。

這則民間傳說(shuō)引起許多人的興趣，進(jìn)行研究這個(gè)問(wèn)題的大有人在。經(jīng)歷了不知多少年，謎底始終沒(méi)有被揭開(kāi)，便一直成為懸案，稱為**(將軍巡營(yíng))問(wèn)題**。

以每座兵營(yíng)為一個(gè)點(diǎn)，三座兵營(yíng)作為頂點(diǎn)，便構(gòu)成—個(gè)三角形。那么，指揮所可擬作三頂點(diǎn)以外的另一個(gè)點(diǎn)，于是問(wèn)題可以敘述為：試確定一點(diǎn)，使它至三頂點(diǎn)往返的距離和為最小。

往返的距離和最小，相應(yīng)地，單程的距離和也最小。這樣，《將軍巡營(yíng)》問(wèn)題實(shí)質(zhì)上就是“試求一點(diǎn)，使它到已知三角形的三頂點(diǎn)距離之和為最小?！边@樣一個(gè)極值問(wèn)題。

根據(jù)那則民間傳說(shuō)提出這個(gè)極值問(wèn)題的就是費(fèi)馬，后人從他致意大利物理學(xué)家托里拆利(1608-1647)的信中見(jiàn)到它。

對(duì)于這類幾何極值的問(wèn)題，費(fèi)馬相當(dāng)熟悉它的解法。

最簡(jiǎn)明的解法是應(yīng)用“等角特征”原理。見(jiàn)圖2，如果三角形ABC中有一點(diǎn)P，那么，當(dāng) 時(shí)，這點(diǎn)便是費(fèi)馬所提出求解的那個(gè)點(diǎn)，即P點(diǎn)是到A、B、C三點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)。若另取一點(diǎn) ，必有

《將軍巡營(yíng)》問(wèn)題是由費(fèi)馬解決的，將軍的指揮所放在哪兒?也是費(fèi)馬向托里拆利提出的那個(gè)點(diǎn)，后人稱為“費(fèi)馬****點(diǎn)”。

顯然，要使確定的P點(diǎn)產(chǎn)生三等角，只有當(dāng)三角形的每個(gè)內(nèi)角都小于120。時(shí)才存在。這樣，費(fèi)馬點(diǎn)究竟在哪兒，就有以下答案：

若已知三角形的每個(gè)內(nèi)角都小于120°，則所求的點(diǎn)即是與三頂點(diǎn)構(gòu)成三等角的點(diǎn)：若已知三角形有一內(nèi)角大于或等于120°，則所求的點(diǎn)是這個(gè)三角形的最大內(nèi)角的頂點(diǎn)。

怎樣確定費(fèi)馬點(diǎn)?見(jiàn)圖3，分別以三角形的三邊為—邊，向形外作等邊三角形 ，則 的任兩線交點(diǎn)便是費(fèi)馬點(diǎn)(實(shí)際上是三線匯交于一點(diǎn)P)，這點(diǎn)也叫三角形的“正等角中心”。

不過(guò)，托里拆利卻別出心裁地用另一種方法來(lái)定費(fèi)馬點(diǎn)。圖3是用共點(diǎn)線考慮的，而托里拆利則按共點(diǎn)圓考慮，分別作三個(gè)等邊三角形的外接圓，則三圓匯交于一點(diǎn)P(圖4)，這是費(fèi)馬點(diǎn)，也叫“托里拆利點(diǎn)”，那三個(gè)圓則稱為“托里拆利圓”。

一般作法是采剛折衷辦法，即僅作—個(gè)等邊三角形，用一個(gè)圓和-—條直線來(lái)確定費(fèi)馬。如圖5的圓(等邊三角形的外接圓)與的交點(diǎn)P就是所要求的點(diǎn)4。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

劉軍 - 副研究員 - 中國(guó)科學(xué)院工程熱物理研究所