[科普中國]-同方差性

同方差性是經(jīng)典線性回歸的重要假定之一，指總體回歸函數(shù)中的隨機(jī)誤差項（干擾項）在解釋變量條件下具有不變的方差。計量經(jīng)濟(jì)學(xué)中， 一組隨機(jī)變量具備同方差即指線性回歸的最小二乘法（OLS, Ordinary Least Squares）的殘值服從均值為0，方差為σ^2的正態(tài)分布，即其干擾項必須服從隨機(jī)分布。與之相對應(yīng)的異方差性則說明干擾項不滿足此均值為0，方差為σ^2的正態(tài)分布。

基本假設(shè)同方差性有四個基本假設(shè)1，假設(shè)一被稱為（White Noise Condition）白色噪音假設(shè)， 干擾項為No Autocorrelation;即誤差部分相互沒有關(guān)聯(lián)，假設(shè)回歸式 y = α+βx+u, 其誤差項中，u1,u2各誤差之間沒有任何聯(lián)系，即：COV（u1*u2）=0；假設(shè)二為干擾項具備同方差性或者等分散, 即誤差項與獨立變量（independent variable）之間相互獨立, 并且誤差項的分散(方差 Variance)必須等同，即Var(u|x)=σ^2；解釋變量之間不存在多重共線性；解釋變量是確定變量。

求證過程在滿足上述要求的前提下，OLS回歸式的統(tǒng)計量才能夠同時滿足不偏性Unbaisedness和效率性Efficiency。所推定出來的線性回歸式才能被稱為最好的不偏線性統(tǒng)計量（BLUE; best linear unbaised estimators)。

等方差性條件下不偏性和OLS斜率值的求證：

**所有線性回歸式可以表現(xiàn)為矩陣(Matrix)**y=xβ+e 其中y為n*1, x為n*k, e為n*1。

根據(jù)OLS， S=∑e^2=∑e'*e. FOC β on S==> -2x'(y-βx)=0 ==> β=(x'x)^-1x'e=β+(x'x)^-1x'e

不偏性Unbiasedness,不偏性2

E(β) = β+E(x'x)^-1x'e)=β+E[E(x'x)^-1x'e|x)]=β+E((x'x)^-1x'E(e|x)]=β

推定最好的不偏性統(tǒng)計量（BULE）

假設(shè)單純回歸式y(tǒng)=α+βx+u滿足white noise condition的2個假設(shè)即，No autocorrelation和同方差性，以及Gauss Markov condition，β的分散可定義為Var(β^)=σ∑w^2. 假設(shè)有另一個統(tǒng)計量β~滿足線性式。 求證：Var(β^) β~=∑w~*（α+βx+u）=α∑w~+β∑w~*x+∑w~*u 為了滿足不偏性，這里∑w~*x=1 由此可得出β~的方差：Var(β~)=σ^2∑w~^2。想要證明Var(β^)∑w^2. 在要求不偏性的時候已經(jīng)得出∑w~*x=1，所以可推定∑w~*w=1,進(jìn)而得出 ∑w~^2-∑w^2=(∑w~^2-∑w^2)^2>0==>∑w~^2>∑w^2即Var(β^)