[科普中國]-一般平均

一般平均亦稱總平均（Grang Mean ），是方差分析中響應(yīng)變量觀測值的數(shù)學(xué)期望，等于各工程平均的簡單或加權(quán)算術(shù)平均值，其無偏估計量是全部觀測值的總平均值。

基本介紹一般平均指不考慮分組，分組數(shù)據(jù)集中后所有取值的平均值，是方差分析中響應(yīng)變量觀測值的數(shù)學(xué)期望，等于各工程平均（即“組平均”，見下文）的簡單或加權(quán)算術(shù)平均值，其無偏估計量是全部觀測值的總平均值。參見“單向方差分析”、“雙向方差分析”。

具體說明下面在“單向方差分析”說明總平均（即“一般平均”）。

單向方差分析亦稱單因子方差分析、一種方式分組的方差分析。單因子析因試驗數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析。單向方差分析的基本問題估計和比較多個等方差正態(tài)總體的均值。設(shè)有m個等方差正態(tài)總體Yi～N (μi，σ2)，或Yi=μi+ei=μ+ai+ei(i=1，…，m)，其中e1，…，em獨立同正態(tài)分布N(0，σ2)， ，ai=μi-μ且滿足約束 。對于單因子試驗，Yi是在因子A取水平Ai時的試驗結(jié)果，μi是其平均水平，ai稱做水平Ai的效應(yīng)。設(shè)在水平Ai下作ni次獨立重復(fù)試驗，得 ：

( 獨立同正態(tài)分布N(0，σ2)

此即單向方差分析模型。統(tǒng)計推斷問題：1. 估計總平均μ和各因子效應(yīng)ai(i=1，…，m)；2.檢驗假設(shè)H0：μ1=…=μm或H0：a1=…=am=0，即各因子水平的效應(yīng)均不顯著；3. 若H0被否定，則利用多重比較法找出效應(yīng)顯著的水平。

1.樣本均值

相應(yīng)為μ和μi的無偏估計， 為ai的無偏估計， 其中 。

2. 假設(shè)H0的檢驗基于離差平方和的分解

其中

（總平方和）

（組間平方和）

（組內(nèi)平方和）

檢驗使用統(tǒng)計量

F=組間方差/組內(nèi)方差=

當(dāng)F≥Fα(f1，f2)時認(rèn)為μ1，…，μm間差異顯著，即因子A的效應(yīng)顯著，其中Fα(f1，f2)是自由度為f1=m-1和f2=N-m的F分布水平α上側(cè)分位數(shù)。

3. 未知方差σ2的無偏估計為

工程平均工程平均亦稱組平均。方差分析中相對于—定處理或在某種水平下響應(yīng)變量觀測值的數(shù)學(xué)期望，它與總平均值之差稱做該種處理或該因子水平的效應(yīng)。工程平均的無偏估計量，是給定處理或水平下全部數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值。參見“單向方差分析”、“雙向方差分析”。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

劉軍 - 副研究員 - 中國科學(xué)院工程熱物理研究所