[科普中國(guó)]-特征分解

特征分解（Eigendecomposition），又稱(chēng)譜分解（Spectral decomposition）是將矩陣分解為由其特征值和特征向量表示的矩陣之積的方法。需要注意只有對(duì)可對(duì)角化矩陣才可以施以特征分解。

基礎(chǔ)理論N 維非零向量 v 是 N×N 的矩陣 A 的特征向量，當(dāng)且僅當(dāng)下式成立：

其中 λ 為一標(biāo)量，稱(chēng)為 v 對(duì)應(yīng)的特征值。也稱(chēng) v 為特征值 λ 對(duì)應(yīng)的特征向量。也即特征向量被施以線性變換 A 只會(huì)使向量伸長(zhǎng)或縮短而其方向不被改變。

由上式可得

稱(chēng)多項(xiàng)式 p(λ) 為矩陣的特征多項(xiàng)式。上式亦稱(chēng)為矩陣的特征方程。特征多項(xiàng)式是關(guān)于未知數(shù) λ 的 N 次多項(xiàng)式。由代數(shù)基本定理，特征方程有 N 個(gè)解。這些解的解集也就是特征值的集合，有時(shí)也稱(chēng)為“譜”（Spectrum）。

我們可以對(duì)多項(xiàng)式 p 進(jìn)行因式分解，而得到

其中

對(duì)每一個(gè)特征值 λi ，我們都有下式成立：

對(duì)每一個(gè)特征方程，都會(huì)有（）個(gè)線性無(wú)關(guān)的解。這 mi 個(gè)向量與一個(gè)特征值 λi 相對(duì)應(yīng)。這里，整數(shù) mi 稱(chēng)為特征值 λi 的幾何重?cái)?shù)，而 ni 稱(chēng)為代數(shù)重?cái)?shù)。這里需要注意的是幾何重?cái)?shù)與代數(shù)重?cái)?shù)可以相等，但也可以不相等。一種最簡(jiǎn)單的情況是 mi = ni = 1。特征向量的極大線性無(wú)關(guān)向量組中向量的個(gè)數(shù)可以由所有特征值的幾何重?cái)?shù)之和來(lái)確定。1

分解方法矩陣的特征分解令 A 是一個(gè) N×N 的方陣，且有 N 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。這樣， A 可以被分解為

其中 Q 是N×N方陣，且其第 i列為 A 的特征向量 。 Λ 是對(duì)角矩陣，其對(duì)角線上的元素為對(duì)應(yīng)的特征值，也即。這里需要注意只有可對(duì)角化矩陣才可以作特征分解。比如 不能被對(duì)角化，也就不能特征分解。

一般來(lái)說(shuō)，特征向量一般被正交單位化（但這不是必須的）。未被正交單位化的特征向量組也可以作為 Q 的列向量。這一事實(shí)可以這樣理解： Q 中向量的長(zhǎng)度都被 抵消了。1

通過(guò)特征分解求矩陣的逆若矩陣 A 可被特征分解并特征值中不含零，則矩陣 A 為非奇異矩陣，且其逆矩陣可以由下式給出：

因?yàn)?Λ 為對(duì)角矩陣，其逆矩陣容易計(jì)算出1：

對(duì)特殊矩陣的特征分解對(duì)稱(chēng)矩陣

任意的 N×N 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣都有 N 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。并且這些特征向量都可以正交單位化而得到一組正交且模為 1 的向量。故實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 A 可被分解成

其中 Q 為 正交矩陣， Λ 為實(shí)對(duì)角矩陣。

正規(guī)矩陣

類(lèi)似地，一個(gè)復(fù)正規(guī)矩陣具有一組正交特征向量基，故正規(guī)矩陣可以被分解成

其中 U 為一個(gè)酉矩陣。進(jìn)一步地，若 A 是埃爾米特矩陣，那么對(duì)角矩陣 Λ 的對(duì)角元全是實(shí)數(shù)。若 A 還是酉矩陣，則 Λ 的所有對(duì)角元在復(fù)平面的單位圓上取得。2

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

宋春霖 - 副教授 - 江南大學(xué)