[科普中國(guó)]-位置算符

在量子力學(xué)里，位置算符（position operator）是一種量子算符。對(duì)應(yīng)于位置算符的可觀察量是粒子的位置。位置算符的本征值是位置矢量。

詳解在量子力學(xué)里，位置算符（position operator）是一種量子算符。對(duì)應(yīng)于位置算符的可觀察量是粒子的位置1。位置算符的本征值是位置矢量。采用狄拉克標(biāo)記，位置算符 的本征態(tài) 滿足方程

其中， 是本征值，是量子態(tài)為 的粒子所處的位置，只是一個(gè)數(shù)值。

本征函數(shù)假設(shè)，在位置空間里，位置算符 的本征值為 的本征函數(shù)是。用方程表達(dá)，

這方程的一般解為，

其中，是常數(shù)， 是狄拉克δ函數(shù)。

注意到 無(wú)法歸一化：

設(shè)定，函數(shù) 滿足下述方程：

這性質(zhì)不是普通的正交歸一性，這性質(zhì)稱為狄拉克正交歸一性。因?yàn)檫@性質(zhì)，位置算符的本征函數(shù)具有完備性，也就是說(shuō)，任意波函數(shù){\displaystyle \psi (x)}都可以表達(dá)為本征函數(shù)的線性組合：

雖然本征函數(shù) 所代表的量子態(tài)是無(wú)法實(shí)際體現(xiàn)的，并且嚴(yán)格而論，不是一個(gè)函數(shù)，它可以視為代表一種理想量子態(tài)，這種理想量子態(tài)具有準(zhǔn)確的位置 ，因此，根據(jù)不確定性原理，這種理想量子態(tài)的動(dòng)量呈均勻分布。

期望值采用位置空間表現(xiàn)，設(shè)想一個(gè)移動(dòng)于一維空間的量子粒子。在這里，希爾伯特空間是，是實(shí)值定義域的平方可積函數(shù)的空間。兩個(gè)態(tài)矢量的內(nèi)積是

對(duì)于任意量子態(tài) ，可觀察量 的期望值為

位置算符作用于量子態(tài) 的結(jié)果，表現(xiàn)于位置空間，等價(jià)于波函數(shù) 與 的乘積，所以，

粒子處于 與 微小區(qū)間內(nèi)的概率是

粒子位置與概率的乘積在位置空間的積分，就是粒子位置的期望值。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

劉軍 - 副研究員 - 中國(guó)科學(xué)院工程熱物理研究所